MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2basgen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2basgen 20700
Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
2basgen ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = (topGen‘𝐶))

Proof of Theorem 2basgen
StepHypRef Expression
1 fvex 6160 . . . . 5 (topGen‘𝐵) ∈ V
21ssex 4767 . . . 4 (𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵) → 𝐶 ∈ V)
32adantl 482 . . 3 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐶 ∈ V)
4 simpl 473 . . 3 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵𝐶)
5 tgss 20678 . . 3 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
63, 4, 5syl2anc 692 . 2 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
7 simpr 477 . . 3 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵))
8 ssexg 4769 . . . . 5 ((𝐵𝐶𝐶 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
92, 8sylan2 491 . . . 4 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
10 tgss3 20696 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)))
113, 9, 10syl2anc 692 . . 3 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ((topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)))
127, 11mpbird 247 . 2 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵))
136, 12eqssd 3605 1 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = (topGen‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  Vcvv 3191  wss 3560  cfv 5850  topGenctg 16014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fv 5858  df-topgen 16020
This theorem is referenced by:  leordtval2  20921  2ndcsb  21157  txbasval  21314  prdsxmslem2  22239  tgioo  22502  tgqioo  22506
  Copyright terms: Public domain W3C validator