MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2cshw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2cshw 13605
Description: Cyclically shifting a word two times. (Contributed by AV, 7-Apr-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2018.) (Revised by AV, 31-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
2cshw ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)))

Proof of Theorem 2cshw
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cshwlen 13591 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ) → (#‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (#‘𝑊))
213adant3 1101 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (#‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (#‘𝑊))
3 cshwcl 13590 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉)
43anim1i 591 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ))
543adant2 1100 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ))
6 cshwlen 13591 . . . . 5 (((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (#‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (#‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (#‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (#‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))
8 simp1 1081 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9 zaddcl 11455 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
1093adant1 1099 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
118, 10jca 553 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
12 cshwlen 13591 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (#‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) = (#‘𝑊))
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (#‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) = (#‘𝑊))
142, 7, 133eqtr4d 2695 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (#‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (#‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))))
157, 2eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (#‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (#‘𝑊))
1615oveq2d 6706 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0..^(#‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁))) = (0..^(#‘𝑊)))
1716eleq2d 2716 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))))
1833ad2ant1 1102 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉)
1918adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉)
20 simp3 1083 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
2120adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
222eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (#‘𝑊) = (#‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))
2322oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^(#‘(𝑊 cyclShift 𝑀))))
2423eleq2d 2716 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))))
2524biimpa 500 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝑊 cyclShift 𝑀))))
26 cshwidxmod 13595 . . . . . . . 8 (((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift 𝑀)‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))))
2719, 21, 25, 26syl3anc 1366 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift 𝑀)‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))))
288adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
29 simpl2 1085 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑀 ∈ ℤ)
30 elfzo0 12548 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (#‘𝑊)))
31 nn0z 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℤ)
3231ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑖 ∈ ℤ)
3320adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3432, 33zaddcld 11524 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ)
35 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
3734, 36jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ))
3837ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ)))
39383adant3 1101 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (#‘𝑊)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ)))
4030, 39sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ)))
4140impcom 445 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ))
42 zmodfzo 12733 . . . . . . . . . 10 (((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
442oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)))
4544eleq1d 2715 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
4645adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
4743, 46mpbird 247 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
48 cshwidxmod 13595 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑀)‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))) = (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) mod (#‘𝑊))))
4928, 29, 47, 48syl3anc 1366 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑀)‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝑊 cyclShift 𝑀)))) = (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) mod (#‘𝑊))))
50 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
5150ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑖 ∈ ℝ)
52 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5352ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
5451, 53readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℝ)
55 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5655ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
57 nnrp 11880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℝ+)
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → (#‘𝑊) ∈ ℝ+)
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (#‘𝑊) ∈ ℝ+)
60 modaddmod 12749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑀) mod (#‘𝑊)) = (((𝑖 + 𝑁) + 𝑀) mod (#‘𝑊)))
6154, 56, 59, 60syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑀) mod (#‘𝑊)) = (((𝑖 + 𝑁) + 𝑀) mod (#‘𝑊)))
62 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℂ)
6362ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑖 ∈ ℂ)
64 zcn 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
6564ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
66 zcn 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
6766ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
68 add32r 10293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) = ((𝑖 + 𝑁) + 𝑀))
6963, 65, 67, 68syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) = ((𝑖 + 𝑁) + 𝑀))
7069eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑖 + 𝑁) + 𝑀) = (𝑖 + (𝑀 + 𝑁)))
7170oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝑖 + 𝑁) + 𝑀) mod (#‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (#‘𝑊)))
7261, 71eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑀) mod (#‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (#‘𝑊)))
7372ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑀) mod (#‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (#‘𝑊))))
74733adant3 1101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (#‘𝑊)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑀) mod (#‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (#‘𝑊))))
7530, 74sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑀) mod (#‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (#‘𝑊))))
7675com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑀) mod (#‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (#‘𝑊))))
77763adant1 1099 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑀) mod (#‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (#‘𝑊))))
7877imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑀) mod (#‘𝑊)) = ((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (#‘𝑊)))
7978fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑀) mod (#‘𝑊))) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (#‘𝑊))))
802adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 cyclShift 𝑀)) = (#‘𝑊))
8180oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)))
8281oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) = (((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑀))
8382oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) mod (#‘𝑊)) = ((((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑀) mod (#‘𝑊)))
8483fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) mod (#‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑀) mod (#‘𝑊))))
8510adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
86 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
87 cshwidxmod 13595 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (#‘𝑊))))
8828, 85, 86, 87syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + (𝑀 + 𝑁)) mod (#‘𝑊))))
8979, 84, 883eqtr4d 2695 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝑊 cyclShift 𝑀))) + 𝑀) mod (#‘𝑊))) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))
9027, 49, 893eqtrd 2689 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))
9190ex 449 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖)))
9217, 91sylbid 230 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁))) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖)))
9392ralrimiv 2994 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)))(((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))
9414, 93jca 553 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((#‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (#‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)))(((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖)))
95 cshwcl 13590 . . . . . 6 ((𝑊 cyclShift 𝑀) ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) ∈ Word 𝑉)
963, 95syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) ∈ Word 𝑉)
97 cshwcl 13590 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ∈ Word 𝑉)
9896, 97jca 553 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ∈ Word 𝑉))
99983ad2ant1 1102 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ∈ Word 𝑉))
100 eqwrd 13379 . . 3 ((((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ∈ Word 𝑉) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ↔ ((#‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (#‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)))(((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))))
10199, 100syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)) ↔ ((#‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)) = (#‘(𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)))(((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁))‘𝑖))))
10294, 101mpbird 247 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑀) cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑀 + 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977   < clt 10112  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  +crp 11870  ..^cfzo 12504   mod cmo 12708  #chash 13157  Word cword 13323   cyclShift ccsh 13580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-substr 13335  df-csh 13581
This theorem is referenced by:  2cshwid  13606  2cshwcom  13608  cshweqdif2  13611  2cshwcshw  13617  cshwcshid  13619  cshwcsh2id  13620  cshwshashlem2  15850
  Copyright terms: Public domain W3C validator