Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2dim 34575
Description: Generate a height-3 element (2-dimensional plane) from an atom. (Contributed by NM, 3-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2dim.j = (join‘𝐾)
2dim.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
2dim.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2dim ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 𝑞) ∧ (𝑃 𝑞)𝐶((𝑃 𝑞) 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐴   ,𝑞,𝑟   𝐾,𝑞,𝑟   𝑃,𝑞,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑟,𝑞)

Proof of Theorem 2dim
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2dim.j . . 3 = (join‘𝐾)
2 eqid 2620 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 2dim.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 33dim1 34572 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)))
5 df-3an 1038 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)) ↔ ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)))
65rexbii 3037 . . . . . . 7 (∃𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)) ↔ ∃𝑠𝐴 ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)))
7 r19.42v 3087 . . . . . . 7 (∃𝑠𝐴 ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)) ↔ ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞)) ∧ ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)))
86, 7bitri 264 . . . . . 6 (∃𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)) ↔ ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞)) ∧ ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)))
98simplbi 476 . . . . 5 (∃𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)) → (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞)))
10 simplll 797 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
11 hlatl 34466 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
13 simplr 791 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑞𝐴)
14 simpllr 798 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑃𝐴)
152, 3atncmp 34418 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞𝐴𝑃𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃𝑞𝑃))
1612, 13, 14, 15syl3anc 1324 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃𝑞𝑃))
17 necom 2844 . . . . . . . 8 (𝑞𝑃𝑃𝑞)
1816, 17syl6rbb 277 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃𝑞 ↔ ¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃))
19 eqid 2620 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2019, 3atbase 34395 . . . . . . . . 9 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2114, 20syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
22 2dim.c . . . . . . . . 9 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
2319, 2, 1, 22, 3cvr1 34515 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑞)))
2410, 21, 13, 23syl3anc 1324 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑃𝑃𝐶(𝑃 𝑞)))
2518, 24bitrd 268 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃𝑞𝑃𝐶(𝑃 𝑞)))
2619, 1, 3hlatjcl 34472 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑞𝐴) → (𝑃 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
2710, 14, 13, 26syl3anc 1324 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (𝑃 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
28 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐴)
2919, 2, 1, 22, 3cvr1 34515 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟𝐴) → (¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞) ↔ (𝑃 𝑞)𝐶((𝑃 𝑞) 𝑟)))
3010, 27, 28, 29syl3anc 1324 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞) ↔ (𝑃 𝑞)𝐶((𝑃 𝑞) 𝑟)))
3125, 30anbi12d 746 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞)) ↔ (𝑃𝐶(𝑃 𝑞) ∧ (𝑃 𝑞)𝐶((𝑃 𝑞) 𝑟))))
329, 31syl5ib 234 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (∃𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)) → (𝑃𝐶(𝑃 𝑞) ∧ (𝑃 𝑞)𝐶((𝑃 𝑞) 𝑟))))
3332reximdva 3014 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → (∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)) → ∃𝑟𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 𝑞) ∧ (𝑃 𝑞)𝐶((𝑃 𝑞) 𝑟))))
3433reximdva 3014 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → (∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑞) ∧ ¬ 𝑠(le‘𝐾)((𝑃 𝑞) 𝑟)) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 𝑞) ∧ (𝑃 𝑞)𝐶((𝑃 𝑞) 𝑟))))
354, 34mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴 (𝑃𝐶(𝑃 𝑞) ∧ (𝑃 𝑞)𝐶((𝑃 𝑞) 𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wrex 2910   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  lecple 15929  joincjn 16925  ccvr 34368  Atomscatm 34369  AtLatcal 34370  HLchlt 34456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-preset 16909  df-poset 16927  df-plt 16939  df-lub 16955  df-glb 16956  df-join 16957  df-meet 16958  df-p0 17020  df-p1 17021  df-lat 17027  df-clat 17089  df-oposet 34282  df-ol 34284  df-oml 34285  df-covers 34372  df-ats 34373  df-atl 34404  df-cvlat 34428  df-hlat 34457
This theorem is referenced by:  1dimN  34576  1cvratex  34578
  Copyright terms: Public domain W3C validator