MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2efiatan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2efiatan 24390
Description: Value of the exponential of an artcangent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2efiatan (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))

Proof of Theorem 2efiatan
StepHypRef Expression
1 atanval 24356 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
21oveq2d 6543 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · (arctan‘𝐴)) = ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
3 2cn 10941 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
43a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ)
5 ax-icn 9852 . . . . . 6 i ∈ ℂ
65a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
7 atancl 24353 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) ∈ ℂ)
84, 6, 7mulassd 9920 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · (arctan‘𝐴)) = (2 · (i · (arctan‘𝐴))))
9 halfcl 11107 . . . . . . . . . 10 (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
105, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (i / 2) ∈ ℂ
113, 5, 10mulassi 9906 . . . . . . . 8 ((2 · i) · (i / 2)) = (2 · (i · (i / 2)))
123, 5, 10mul12i 10083 . . . . . . . 8 (2 · (i · (i / 2))) = (i · (2 · (i / 2)))
13 2ne0 10963 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
145, 3, 13divcan2i 10620 . . . . . . . . . 10 (2 · (i / 2)) = i
1514oveq2i 6538 . . . . . . . . 9 (i · (2 · (i / 2))) = (i · i)
16 ixi 10508 . . . . . . . . 9 (i · i) = -1
1715, 16eqtri 2631 . . . . . . . 8 (i · (2 · (i / 2))) = -1
1811, 12, 173eqtri 2635 . . . . . . 7 ((2 · i) · (i / 2)) = -1
1918oveq1i 6537 . . . . . 6 (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (-1 · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
20 ax-1cn 9851 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
21 atandm2 24349 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
2221simp1bi 1068 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
23 mulcl 9877 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
245, 22, 23sylancr 693 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
25 subcl 10132 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
2620, 24, 25sylancr 693 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
2721simp2bi 1069 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
2826, 27logcld 24066 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
29 addcl 9875 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
3020, 24, 29sylancr 693 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
3121simp3bi 1070 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
3230, 31logcld 24066 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
3328, 32subcld 10244 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
3433mulm1d 10334 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (-1 · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
3519, 34syl5eq 2655 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
36 2mulicn 11105 . . . . . . 7 (2 · i) ∈ ℂ
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ∈ ℂ)
3810a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (i / 2) ∈ ℂ)
3937, 38, 33mulassd 9920 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
4028, 32negsubdi2d 10260 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
4135, 39, 403eqtr3d 2651 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
422, 8, 413eqtr3d 2651 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i · (arctan‘𝐴))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
4342fveq2d 6092 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
44 efsub 14618 . . 3 (((log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) / (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
4532, 28, 44syl2anc 690 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) / (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
46 eflog 24072 . . . . 5 (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (1 + (i · 𝐴)))
4730, 31, 46syl2anc 690 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (1 + (i · 𝐴)))
48 eflog 24072 . . . . 5 (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (1 − (i · 𝐴)))
4926, 27, 48syl2anc 690 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (1 − (i · 𝐴)))
5047, 49oveq12d 6545 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) / (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (1 − (i · 𝐴))))
51 negsub 10181 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
525, 22, 51sylancr 693 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
536mulid1d 9914 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 1) = i)
5416oveq1i 6537 . . . . . . . . 9 ((i · i) · 𝐴) = (-1 · 𝐴)
556, 6, 22mulassd 9920 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
5622mulm1d 10334 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
5754, 55, 563eqtr3a 2667 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
5853, 57oveq12d 6545 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 1) + (i · (i · 𝐴))) = (i + -𝐴))
596, 22, 6pnpcan2d 10282 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i + i) − (𝐴 + i)) = (i − 𝐴))
6052, 58, 593eqtr4d 2653 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 1) + (i · (i · 𝐴))) = ((i + i) − (𝐴 + i)))
6120a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → 1 ∈ ℂ)
626, 61, 24adddid 9921 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (1 + (i · 𝐴))) = ((i · 1) + (i · (i · 𝐴))))
6362timesd 11125 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) = (i + i))
6463oveq1d 6542 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) − (𝐴 + i)) = ((i + i) − (𝐴 + i)))
6560, 62, 643eqtr4d 2653 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (1 + (i · 𝐴))) = ((2 · i) − (𝐴 + i)))
666, 61, 24subdid 10338 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (1 − (i · 𝐴))) = ((i · 1) − (i · (i · 𝐴))))
6753, 57oveq12d 6545 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 1) − (i · (i · 𝐴))) = (i − -𝐴))
68 subneg 10182 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i − -𝐴) = (i + 𝐴))
695, 22, 68sylancr 693 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (i − -𝐴) = (i + 𝐴))
7067, 69eqtrd 2643 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 1) − (i · (i · 𝐴))) = (i + 𝐴))
71 addcom 10074 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i + 𝐴) = (𝐴 + i))
725, 22, 71sylancr 693 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (i + 𝐴) = (𝐴 + i))
7366, 70, 723eqtrd 2647 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (1 − (i · 𝐴))) = (𝐴 + i))
7465, 73oveq12d 6545 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (1 + (i · 𝐴))) / (i · (1 − (i · 𝐴)))) = (((2 · i) − (𝐴 + i)) / (𝐴 + i)))
75 ine0 10317 . . . . . 6 i ≠ 0
7675a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → i ≠ 0)
7730, 26, 6, 27, 76divcan5d 10679 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (1 + (i · 𝐴))) / (i · (1 − (i · 𝐴)))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (1 − (i · 𝐴))))
78 addcl 9875 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
7922, 5, 78sylancl 692 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
80 subneg 10182 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
8122, 5, 80sylancl 692 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
82 atandm 24348 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
8382simp2bi 1069 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ≠ -i)
84 negicn 10134 . . . . . . . 8 -i ∈ ℂ
85 subeq0 10159 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
8685necon3bid 2825 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
8722, 84, 86sylancl 692 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
8883, 87mpbird 245 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) ≠ 0)
8981, 88eqnetrrd 2849 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ≠ 0)
9037, 79, 79, 89divsubdird 10692 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) − (𝐴 + i)) / (𝐴 + i)) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((𝐴 + i) / (𝐴 + i))))
9174, 77, 903eqtr3d 2651 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴)) / (1 − (i · 𝐴))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((𝐴 + i) / (𝐴 + i))))
9279, 89dividd 10651 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((𝐴 + i) / (𝐴 + i)) = 1)
9392oveq2d 6543 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((𝐴 + i) / (𝐴 + i))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))
9450, 91, 933eqtrd 2647 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) / (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))
9543, 45, 943eqtrd 2647 1 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  dom cdm 5028  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9791  0cc0 9793  1c1 9794  ici 9795   + caddc 9796   · cmul 9798  cmin 10118  -cneg 10119   / cdiv 10536  2c2 10920  expce 14580  logclog 24050  arctancatan 24336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ioc 12010  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-mod 12489  df-seq 12622  df-exp 12681  df-fac 12881  df-bc 12910  df-hash 12938  df-shft 13604  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-limsup 13999  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-ef 14586  df-sin 14588  df-cos 14589  df-pi 14591  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-mulg 17313  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-lp 20698  df-perf 20699  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-haus 20877  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cncf 22437  df-limc 23381  df-dv 23382  df-log 24052  df-atan 24339
This theorem is referenced by:  tanatan  24391
  Copyright terms: Public domain W3C validator