Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2elfz2melfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2elfz2melfz 40178
Description: If the sum of two integers of a 0 based finite set of sequential integers is greater than the upper bound, the difference between one of the integers and the difference between the upper bound and the other integer is in the 0 based finite set of sequential integers with the first integer as upper bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Apr-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 31-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
2elfz2melfz ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ (0...𝐴)))

Proof of Theorem 2elfz2melfz
StepHypRef Expression
1 elfzelz 12164 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 elfzel2 12162 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 elfzelz 12164 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
4 simplr 787 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
5 zsubcl 11248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁𝐴) ∈ ℤ)
65adantlr 746 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁𝐴) ∈ ℤ)
74, 6zsubcld 11315 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℤ)
87adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℤ)
9 zre 11210 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
109ad2antrr 757 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
11 zaddcl 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
1211zred 11310 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
1312expcom 449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
1413adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
1514imp 443 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
1610, 15, 10ltsub1d 10481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) ↔ (𝑁𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
17 zre 11210 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
189, 17anim12i 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
19 zre 11210 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2018, 19anim12i 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
21 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
2221, 21resubcld 10305 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁𝑁) ∈ ℝ)
2322ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁𝑁) ∈ ℝ)
24 readdcl 9871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
2524expcom 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
2625adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
2726imp 443 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
28 simpll 785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2927, 28resubcld 10305 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℝ)
3023, 29jca 552 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℝ))
31 ltle 9973 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑁𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) → (𝑁𝑁) ≤ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
3220, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) → (𝑁𝑁) ≤ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
33 zcn 11211 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3433subidd 10227 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁𝑁) = 0)
3534ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁𝑁) = 0)
36 zcn 11211 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
3736adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3837adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3933ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
40 zcn 11211 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
4140adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
42 simp3 1055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
43 simp1 1053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4442, 43addcomd 10085 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
4544oveq1d 6538 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = ((𝐵 + 𝐴) − 𝑁))
46 subsub3 10160 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) = ((𝐵 + 𝐴) − 𝑁))
4745, 46eqtr4d 2642 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = (𝐵 − (𝑁𝐴)))
4838, 39, 41, 47syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = (𝐵 − (𝑁𝐴)))
4935, 48breq12d 4586 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑁) ≤ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ↔ 0 ≤ (𝐵 − (𝑁𝐴))))
5032, 49sylibd 227 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) → 0 ≤ (𝐵 − (𝑁𝐴))))
5116, 50sylbid 228 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → 0 ≤ (𝐵 − (𝑁𝐴))))
5251imp 443 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ≤ (𝐵 − (𝑁𝐴)))
53 elnn0z 11219 . . . . . . . 8 ((𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐵 − (𝑁𝐴))))
548, 52, 53sylanbrc 694 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0)
5554exp31 627 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0)))
562, 3, 55syl2anc 690 . . . . 5 (𝐵 ∈ (0...𝑁) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0)))
571, 56mpan9 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0))
5857imp 443 . . 3 (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0)
59 elfznn0 12253 . . . 4 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℕ0)
6059ad2antrr 757 . . 3 (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
61 elfzle2 12167 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝐵𝑁)
6261adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵𝑁)
63 elfzel2 12162 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
6463zcnd 11311 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
651zcnd 11311 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
6664, 65jca 552 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
6766adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
68 npcan 10137 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑁𝐴) + 𝐴) = 𝑁)
6967, 68syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐴) + 𝐴) = 𝑁)
7062, 69breqtrrd 4601 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ≤ ((𝑁𝐴) + 𝐴))
713zred 11310 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝐵 ∈ ℝ)
7271adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7363zred 11310 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
741zred 11310 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
7573, 74resubcld 10305 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
7675adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
7774adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7872, 76, 77lesubadd2d 10471 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐵 − (𝑁𝐴)) ≤ 𝐴𝐵 ≤ ((𝑁𝐴) + 𝐴)))
7970, 78mpbird 245 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ≤ 𝐴)
8079adantr 479 . . 3 (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ≤ 𝐴)
81 elfz2nn0 12251 . . 3 ((𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ (0...𝐴) ↔ ((𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 − (𝑁𝐴)) ≤ 𝐴))
8258, 60, 80, 81syl3anbrc 1238 . 2 (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ (0...𝐴))
8382ex 448 1 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ (0...𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975   class class class wbr 4573  (class class class)co 6523  cc 9786  cr 9787  0cc0 9788   + caddc 9791   < clt 9926  cle 9927  cmin 10113  0cn0 11135  cz 11206  ...cfz 12148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator