Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2exp11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2exp11 40842
Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
2exp11 (2↑11) = 2048

Proof of Theorem 2exp11
StepHypRef Expression
1 8p3e11 11564 . . . . 5 (8 + 3) = 11
21eqcomi 2630 . . . 4 11 = (8 + 3)
32oveq2i 6621 . . 3 (2↑11) = (2↑(8 + 3))
4 2cn 11043 . . . 4 2 ∈ ℂ
5 8nn0 11267 . . . 4 8 ∈ ℕ0
6 3nn0 11262 . . . 4 3 ∈ ℕ0
7 expadd 12850 . . . 4 ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
84, 5, 6, 7mp3an 1421 . . 3 (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
93, 8eqtri 2643 . 2 (2↑11) = ((2↑8) · (2↑3))
10 2exp8 15731 . . . 4 (2↑8) = 256
11 cu2 12911 . . . 4 (2↑3) = 8
1210, 11oveq12i 6622 . . 3 ((2↑8) · (2↑3)) = (256 · 8)
13 2nn0 11261 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
14 5nn0 11264 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1513, 14deccl 11464 . . . 4 25 ∈ ℕ0
16 6nn0 11265 . . . 4 6 ∈ ℕ0
17 eqid 2621 . . . 4 256 = 256
18 4nn0 11263 . . . 4 4 ∈ ℕ0
19 0nn0 11259 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
2013, 19deccl 11464 . . . . 5 20 ∈ ℕ0
21 eqid 2621 . . . . . 6 25 = 25
22 1nn0 11260 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
23 8cn 11058 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
24 8t2e16 11606 . . . . . . . 8 (8 · 2) = 16
2523, 4, 24mulcomli 9999 . . . . . . 7 (2 · 8) = 16
26 1p1e2 11086 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
27 6p4e10 11550 . . . . . . 7 (6 + 4) = 10
2822, 16, 18, 25, 26, 19, 27decaddci 11532 . . . . . 6 ((2 · 8) + 4) = 20
29 5cn 11052 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
30 8t5e40 11609 . . . . . . 7 (8 · 5) = 40
3123, 29, 30mulcomli 9999 . . . . . 6 (5 · 8) = 40
325, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31decmul1c 11539 . . . . 5 (25 · 8) = 200
33 4cn 11050 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
3433addid2i 10176 . . . . 5 (0 + 4) = 4
3520, 19, 18, 32, 34decaddi 11531 . . . 4 ((25 · 8) + 4) = 204
36 6cn 11054 . . . . 5 6 ∈ ℂ
37 8t6e48 11611 . . . . 5 (8 · 6) = 48
3823, 36, 37mulcomli 9999 . . . 4 (6 · 8) = 48
395, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38decmul1c 11539 . . 3 (256 · 8) = 2048
4012, 39eqtri 2643 . 2 ((2↑8) · (2↑3)) = 2048
419, 40eqtri 2643 1 (2↑11) = 2048
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6610  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893  2c2 11022  3c3 11023  4c4 11024  5c5 11025  6c6 11026  8c8 11028  0cn0 11244  cdc 11445  cexp 12808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-seq 12750  df-exp 12809
This theorem is referenced by:  m11nprm  40843
  Copyright terms: Public domain W3C validator