MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2exp16 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2exp16 15728
Description: Two to the sixteenth power is 65536. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2exp16 (2↑16) = 65536

Proof of Theorem 2exp16
StepHypRef Expression
1 2nn0 11260 . 2 2 ∈ ℕ0
2 8nn0 11266 . 2 8 ∈ ℕ0
3 8cn 11057 . . 3 8 ∈ ℂ
4 2cn 11042 . . 3 2 ∈ ℂ
5 8t2e16 11605 . . 3 (8 · 2) = 16
63, 4, 5mulcomli 9998 . 2 (2 · 8) = 16
7 2exp8 15727 . 2 (2↑8) = 256
8 5nn0 11263 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
91, 8deccl 11463 . . . 4 25 ∈ ℕ0
10 6nn0 11264 . . . 4 6 ∈ ℕ0
119, 10deccl 11463 . . 3 256 ∈ ℕ0
12 eqid 2621 . . 3 256 = 256
13 1nn0 11259 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
1413, 8deccl 11463 . . . 4 15 ∈ ℕ0
15 3nn0 11261 . . . 4 3 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 11463 . . 3 153 ∈ ℕ0
17 eqid 2621 . . . 4 25 = 25
18 eqid 2621 . . . 4 153 = 153
1913, 1deccl 11463 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
2019, 2deccl 11463 . . . 4 128 ∈ ℕ0
21 4nn0 11262 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
2213, 21deccl 11463 . . . . 5 14 ∈ ℕ0
23 eqid 2621 . . . . . 6 15 = 15
24 eqid 2621 . . . . . 6 128 = 128
25 0nn0 11258 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
2613dec0h 11473 . . . . . . . 8 1 = 01
27 eqid 2621 . . . . . . . 8 12 = 12
28 0p1e1 11083 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
29 1p2e3 11103 . . . . . . . 8 (1 + 2) = 3
3025, 13, 13, 1, 26, 27, 28, 29decadd 11521 . . . . . . 7 (1 + 12) = 13
31 3p1e4 11104 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
3213, 15, 13, 30, 31decaddi 11530 . . . . . 6 ((1 + 12) + 1) = 14
33 5cn 11051 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
34 8p5e13 11566 . . . . . . 7 (8 + 5) = 13
353, 33, 34addcomli 10179 . . . . . 6 (5 + 8) = 13
3613, 8, 19, 2, 23, 24, 32, 15, 35decaddc 11523 . . . . 5 (15 + 128) = 143
37 eqid 2621 . . . . . . 7 14 = 14
38 4p1e5 11105 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
3913, 21, 13, 37, 38decaddi 11530 . . . . . 6 (14 + 1) = 15
40 2t2e4 11128 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
41 1p1e2 11085 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
4240, 41oveq12i 6622 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (1 + 1)) = (4 + 2)
43 4p2e6 11113 . . . . . . 7 (4 + 2) = 6
4442, 43eqtri 2643 . . . . . 6 ((2 · 2) + (1 + 1)) = 6
45 5t2e10 11585 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
4633addid2i 10175 . . . . . . 7 (0 + 5) = 5
4713, 25, 8, 45, 46decaddi 11530 . . . . . 6 ((5 · 2) + 5) = 15
481, 8, 13, 8, 17, 39, 1, 8, 13, 44, 47decmac 11517 . . . . 5 ((25 · 2) + (14 + 1)) = 65
49 6t2e12 11592 . . . . . 6 (6 · 2) = 12
50 3cn 11046 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
51 3p2e5 11111 . . . . . . 7 (3 + 2) = 5
5250, 4, 51addcomli 10179 . . . . . 6 (2 + 3) = 5
5313, 1, 15, 49, 52decaddi 11530 . . . . 5 ((6 · 2) + 3) = 15
549, 10, 22, 15, 12, 36, 1, 8, 13, 48, 53decmac 11517 . . . 4 ((256 · 2) + (15 + 128)) = 655
5515dec0h 11473 . . . . 5 3 = 03
5650addid2i 10175 . . . . . . 7 (0 + 3) = 3
5756, 55eqtri 2643 . . . . . 6 (0 + 3) = 03
584addid2i 10175 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
5958oveq2i 6621 . . . . . . 7 ((2 · 5) + (0 + 2)) = ((2 · 5) + 2)
6033, 4, 45mulcomli 9998 . . . . . . . 8 (2 · 5) = 10
6113, 25, 1, 60, 58decaddi 11530 . . . . . . 7 ((2 · 5) + 2) = 12
6259, 61eqtri 2643 . . . . . 6 ((2 · 5) + (0 + 2)) = 12
63 5t5e25 11590 . . . . . . 7 (5 · 5) = 25
64 5p3e8 11117 . . . . . . 7 (5 + 3) = 8
651, 8, 15, 63, 64decaddi 11530 . . . . . 6 ((5 · 5) + 3) = 28
661, 8, 25, 15, 17, 57, 8, 2, 1, 62, 65decmac 11517 . . . . 5 ((25 · 5) + (0 + 3)) = 128
67 6t5e30 11595 . . . . . 6 (6 · 5) = 30
6815, 25, 15, 67, 56decaddi 11530 . . . . 5 ((6 · 5) + 3) = 33
699, 10, 25, 15, 12, 55, 8, 15, 15, 66, 68decmac 11517 . . . 4 ((256 · 5) + 3) = 1283
701, 8, 14, 15, 17, 18, 11, 15, 20, 54, 69decma2c 11519 . . 3 ((256 · 25) + 153) = 6553
71 6cn 11053 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
7271, 4, 49mulcomli 9998 . . . . . 6 (2 · 6) = 12
7313, 1, 15, 72, 52decaddi 11530 . . . . 5 ((2 · 6) + 3) = 15
7471, 33, 67mulcomli 9998 . . . . . 6 (5 · 6) = 30
7515, 25, 15, 74, 56decaddi 11530 . . . . 5 ((5 · 6) + 3) = 33
761, 8, 15, 17, 10, 15, 15, 73, 75decrmac 11528 . . . 4 ((25 · 6) + 3) = 153
77 6t6e36 11597 . . . 4 (6 · 6) = 36
7810, 9, 10, 12, 10, 15, 76, 77decmul1c 11538 . . 3 (256 · 6) = 1536
7911, 9, 10, 12, 10, 16, 70, 78decmul2c 11540 . 2 (256 · 256) = 65536
801, 2, 6, 7, 79numexp2x 15714 1 (2↑16) = 65536
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  (class class class)co 6610  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892  2c2 11021  3c3 11022  4c4 11023  5c5 11024  6c6 11025  8c8 11027  cdc 11444  cexp 12807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-seq 12749  df-exp 12808
This theorem is referenced by:  1259lem1  15769  fmtno4  40784
  Copyright terms: Public domain W3C validator