Theorem 2exp16 16426

Description: Two to the sixteenth power is 65536. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp16	⊢ (2↑;16) = ;;;;65536

Proof of Theorem 2exp16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11917	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		8nn0 11923	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ0
3		8cn 11737	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℂ
4		2cn 11715	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8t2e16 12216	. . 3 ⊢ (8 · 2) = ;16
6	3, 4, 5	mulcomli 10652	. 2 ⊢ (2 · 8) = ;16
7		2exp8 16425	. 2 ⊢ (2↑8) = ;;256
8		5nn0 11920	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
9	1, 8	deccl 12116	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
10		6nn0 11921	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12116	. . 3 ⊢ ;;256 ∈ ℕ0
12		eqid 2823	. . 3 ⊢ ;;256 = ;;256
13		1nn0 11916	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14	13, 8	deccl 12116	. . . 4 ⊢ ;15 ∈ ℕ0
15		3nn0 11918	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12116	. . 3 ⊢ ;;153 ∈ ℕ0
17		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ;25 = ;25
18		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ;;153 = ;;153
19	13, 1	deccl 12116	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
20	19, 2	deccl 12116	. . . 4 ⊢ ;;128 ∈ ℕ0
21		4nn0 11919	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
22	13, 21	deccl 12116	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
23		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ ;15 = ;15
24		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ ;;128 = ;;128
25		0nn0 11915	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
26	13	dec0h 12123	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = ;01
27		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ ;12 = ;12
28		0p1e1 11762	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
29		1p2e3 11783	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 2) = 3
30	25, 13, 13, 1, 26, 27, 28, 29	decadd 12155	. . . . . . 7 ⊢ (1 + ;12) = ;13
31		3p1e4 11785	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
32	13, 15, 13, 30, 31	decaddi 12161	. . . . . 6 ⊢ ((1 + ;12) + 1) = ;14
33		5cn 11728	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
34		8p5e13 12184	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 5) = ;13
35	3, 33, 34	addcomli 10834	. . . . . 6 ⊢ (5 + 8) = ;13
36	13, 8, 19, 2, 23, 24, 32, 15, 35	decaddc 12156	. . . . 5 ⊢ (;15 + ;;128) = ;;143
37		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ ;14 = ;14
38		4p1e5 11786	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 1) = 5
39	13, 21, 13, 37, 38	decaddi 12161	. . . . . 6 ⊢ (;14 + 1) = ;15
40		2t2e4 11804	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
41		1p1e2 11765	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
42	40, 41	oveq12i 7170	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + (1 + 1)) = (4 + 2)
43		4p2e6 11793	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 2) = 6
44	42, 43	eqtri 2846	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + (1 + 1)) = 6
45		5t2e10 12201	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
46	33	addid2i 10830	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 5) = 5
47	13, 25, 8, 45, 46	decaddi 12161	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 2) + 5) = ;15
48	1, 8, 13, 8, 17, 39, 1, 8, 13, 44, 47	decmac 12153	. . . . 5 ⊢ ((;25 · 2) + (;14 + 1)) = ;65
49		6t2e12 12205	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
50		3cn 11721	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
51		3p2e5 11791	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
52	50, 4, 51	addcomli 10834	. . . . . 6 ⊢ (2 + 3) = 5
53	13, 1, 15, 49, 52	decaddi 12161	. . . . 5 ⊢ ((6 · 2) + 3) = ;15
54	9, 10, 22, 15, 12, 36, 1, 8, 13, 48, 53	decmac 12153	. . . 4 ⊢ ((;;256 · 2) + (;15 + ;;128)) = ;;655
55	15	dec0h 12123	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
56	50	addid2i 10830	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 3) = 3
57	56, 55	eqtri 2846	. . . . . 6 ⊢ (0 + 3) = ;03
58	4	addid2i 10830	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 2) = 2
59	58	oveq2i 7169	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 5) + (0 + 2)) = ((2 · 5) + 2)
60	33, 4, 45	mulcomli 10652	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 5) = ;10
61	13, 25, 1, 60, 58	decaddi 12161	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
62	59, 61	eqtri 2846	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + (0 + 2)) = ;12
63		5t5e25 12204	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
64		5p3e8 11797	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 3) = 8
65	1, 8, 15, 63, 64	decaddi 12161	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 5) + 3) = ;28
66	1, 8, 25, 15, 17, 57, 8, 2, 1, 62, 65	decmac 12153	. . . . 5 ⊢ ((;25 · 5) + (0 + 3)) = ;;128
67		6t5e30 12208	. . . . . 6 ⊢ (6 · 5) = ;30
68	15, 25, 15, 67, 56	decaddi 12161	. . . . 5 ⊢ ((6 · 5) + 3) = ;33
69	9, 10, 25, 15, 12, 55, 8, 15, 15, 66, 68	decmac 12153	. . . 4 ⊢ ((;;256 · 5) + 3) = ;;;1283
70	1, 8, 14, 15, 17, 18, 11, 15, 20, 54, 69	decma2c 12154	. . 3 ⊢ ((;;256 · ;25) + ;;153) = ;;;6553
71		6cn 11731	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
72	71, 4, 49	mulcomli 10652	. . . . . 6 ⊢ (2 · 6) = ;12
73	13, 1, 15, 72, 52	decaddi 12161	. . . . 5 ⊢ ((2 · 6) + 3) = ;15
74	71, 33, 67	mulcomli 10652	. . . . . 6 ⊢ (5 · 6) = ;30
75	15, 25, 15, 74, 56	decaddi 12161	. . . . 5 ⊢ ((5 · 6) + 3) = ;33
76	1, 8, 15, 17, 10, 15, 15, 73, 75	decrmac 12159	. . . 4 ⊢ ((;25 · 6) + 3) = ;;153
77		6t6e36 12209	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
78	10, 9, 10, 12, 10, 15, 76, 77	decmul1c 12166	. . 3 ⊢ (;;256 · 6) = ;;;1536
79	11, 9, 10, 12, 10, 16, 70, 78	decmul2c 12167	. 2 ⊢ (;;256 · ;;256) = ;;;;65536
80	1, 2, 6, 7, 79	numexp2x 16417	1 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7158  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544  2c2 11695  3c3 11696  4c4 11697  5c5 11698  6c6 11699  8c8 11701  ;cdc 12101  ↑cexp 13432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-seq 13373  df-exp 13433

This theorem is referenced by:  1259lem1  16466  fmtno4  43721