MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2expltfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2expltfac 15586
Description: The factorial grows faster than two to the power 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
2expltfac (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2↑𝑁) < (!‘𝑁))

Proof of Theorem 2expltfac
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6535 . . . 4 (𝑥 = 4 → (2↑𝑥) = (2↑4))
2 2exp4 15581 . . . 4 (2↑4) = 16
31, 2syl6eq 2660 . . 3 (𝑥 = 4 → (2↑𝑥) = 16)
4 fveq2 6088 . . . 4 (𝑥 = 4 → (!‘𝑥) = (!‘4))
5 fac4 12888 . . . 4 (!‘4) = 24
64, 5syl6eq 2660 . . 3 (𝑥 = 4 → (!‘𝑥) = 24)
73, 6breq12d 4591 . 2 (𝑥 = 4 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ 16 < 24))
8 oveq2 6535 . . 3 (𝑥 = 𝑛 → (2↑𝑥) = (2↑𝑛))
9 fveq2 6088 . . 3 (𝑥 = 𝑛 → (!‘𝑥) = (!‘𝑛))
108, 9breq12d 4591 . 2 (𝑥 = 𝑛 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)))
11 oveq2 6535 . . 3 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (2↑𝑥) = (2↑(𝑛 + 1)))
12 fveq2 6088 . . 3 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑛 + 1)))
1311, 12breq12d 4591 . 2 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1))))
14 oveq2 6535 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (2↑𝑥) = (2↑𝑁))
15 fveq2 6088 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
1614, 15breq12d 4591 . 2 (𝑥 = 𝑁 → ((2↑𝑥) < (!‘𝑥) ↔ (2↑𝑁) < (!‘𝑁)))
17 1nn0 11158 . . . 4 1 ∈ ℕ0
18 2nn0 11159 . . . 4 2 ∈ ℕ0
19 6nn0 11163 . . . 4 6 ∈ ℕ0
20 4nn0 11161 . . . 4 4 ∈ ℕ0
21 6lt10 11511 . . . 4 6 < 10
22 1lt2 11044 . . . 4 1 < 2
2317, 18, 19, 20, 21, 22decltc 11367 . . 3 16 < 24
2423a1i 11 . 2 (4 ∈ ℤ → 16 < 24)
25 2nn 11035 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
2625a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℕ)
27 4nn 11037 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
28 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘4))
29 eluznn 11593 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘4)) → 𝑛 ∈ ℕ)
3027, 28, 29sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
3130nnnn0d 11201 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
3226, 31nnexpcld 12850 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
3332nnred 10885 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
34 2re 10940 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3534a1i 11 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℝ)
3633, 35remulcld 9927 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) ∈ ℝ)
3731faccld 12891 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
3837nnred 10885 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℝ)
3938, 35remulcld 9927 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · 2) ∈ ℝ)
4030nnred 10885 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
41 1red 9912 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
4240, 41readdcld 9926 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
4338, 42remulcld 9927 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
44 2rp 11672 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
4544a1i 11 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℝ+)
46 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑𝑛) < (!‘𝑛))
4733, 38, 45, 46ltmul1dd 11762 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) < ((!‘𝑛) · 2))
4837nnnn0d 11201 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘𝑛) ∈ ℕ0)
4948nn0ge0d 11204 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 0 ≤ (!‘𝑛))
50 df-2 10929 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
5130nnge1d 10913 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 1 ≤ 𝑛)
5241, 40, 41, 51leadd1dd 10493 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (1 + 1) ≤ (𝑛 + 1))
5350, 52syl5eqbr 4613 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ≤ (𝑛 + 1))
5435, 42, 38, 49, 53lemul2ad 10816 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((!‘𝑛) · 2) ≤ ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
5536, 39, 43, 47, 54ltletrd 10049 . . . 4 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → ((2↑𝑛) · 2) < ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
56 2cnd 10943 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → 2 ∈ ℂ)
5756, 31expp1d 12829 . . . 4 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑(𝑛 + 1)) = ((2↑𝑛) · 2))
58 facp1 12885 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 + 1)) = ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
5931, 58syl 17 . . . 4 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (!‘(𝑛 + 1)) = ((!‘𝑛) · (𝑛 + 1)))
6055, 57, 593brtr4d 4610 . . 3 ((𝑛 ∈ (ℤ‘4) ∧ (2↑𝑛) < (!‘𝑛)) → (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1)))
6160ex 449 . 2 (𝑛 ∈ (ℤ‘4) → ((2↑𝑛) < (!‘𝑛) → (2↑(𝑛 + 1)) < (!‘(𝑛 + 1))))
627, 10, 13, 16, 24, 61uzind4 11581 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘4) → (2↑𝑁) < (!‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4578  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9792  1c1 9794   + caddc 9796   · cmul 9798   < clt 9931  cle 9932  cn 10870  2c2 10920  4c4 10922  6c6 10924  0cn0 11142  cz 11213  cdc 11328  cuz 11522  +crp 11667  cexp 12680  !cfa 12880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-rp 11668  df-seq 12622  df-exp 12681  df-fac 12881
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator