Theorem 2leaddle2 43505

Description: If two real numbers are less than a third real number, the sum of the real numbers is less than twice the third real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2leaddle2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐶)))

Proof of Theorem 2leaddle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 10622	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	3adant3 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
3		readdcl 10622	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ)
4	3	anidms 569	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ)
5	4	3ad2ant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ)
6		2re 11714	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		remulcl 10624	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
8	6, 7	mpan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
10	2, 5, 9	3jca 1124	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℝ))
11	10	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℝ))
12		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
13	12	3adant3 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
14		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ)
15	14, 14	jca 514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
16	15	3ad2ant3 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
17	13, 16	jca 514	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)))
18	17	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)))
19		simpr 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶))
20		lt2add 11127	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐶)))
21	18, 19, 20	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐶))
22		recn 10629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
23	22	2timesd 11883	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (2 · 𝐶) = (𝐶 + 𝐶))
24	8	leidd 11208	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (2 · 𝐶) ≤ (2 · 𝐶))
25	23, 24	eqbrtrrd 5092	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 + 𝐶) ≤ (2 · 𝐶))
26	25	3ad2ant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐶) ≤ (2 · 𝐶))
27	26	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐶 + 𝐶) ≤ (2 · 𝐶))
28	21, 27	jca 514	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐶) ∧ (𝐶 + 𝐶) ≤ (2 · 𝐶)))
29		ltletr 10734	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐶) ∧ (𝐶 + 𝐶) ≤ (2 · 𝐶)) → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐶)))
30	11, 28, 29	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐶))
31	30	ex 415	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  ℝcr 10538   + caddc 10542   · cmul 10544   < clt 10677   ≤ cle 10678  2c2 11695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-2 11703

This theorem is referenced by: (None)