MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgs 25910
Description: The second supplement to the law of quadratic reciprocity (for the Legendre symbol extended to arbitrary primes as second argument). Two is a square modulo a prime 𝑃 iff 𝑃≡±1 (mod 8), see first case of theorem 9.5 in [ApostolNT] p. 181. This theorem justifies our definition of (𝑁 /L 2) (lgs2 25817) to some degree, by demanding that reciprocity extend to the case 𝑄 = 2. (Proposed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.) (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgs (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem 2lgs
Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prm2orodd 16023 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑃))
2 2lgslem4 25909 . . . . . 6 ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
32a1i 11 . . . . 5 (𝑃 = 2 → ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7}))
4 oveq2 7153 . . . . . 6 (𝑃 = 2 → (2 /L 𝑃) = (2 /L 2))
54eqeq1d 2820 . . . . 5 (𝑃 = 2 → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (2 /L 2) = 1))
6 oveq1 7152 . . . . . 6 (𝑃 = 2 → (𝑃 mod 8) = (2 mod 8))
76eleq1d 2894 . . . . 5 (𝑃 = 2 → ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7}))
83, 5, 73bitr4d 312 . . . 4 (𝑃 = 2 → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
98a1d 25 . . 3 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})))
10 2prm 16024 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℙ
11 prmnn 16006 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
12 dvdsprime 16019 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ 2 ↔ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 1)))
1310, 11, 12sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 2 ↔ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 1)))
14 z2even 15708 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∥ 2
15 breq2 5061 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = 2 → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 ∥ 2))
1614, 15mpbiri 259 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = 2 → 2 ∥ 𝑃)
1716a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∥ 𝑃))
18 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
19 1nprm 16011 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 1 ∈ ℙ
2019pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℙ → 2 ∥ 𝑃)
2118, 20syl6bi 254 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∥ 𝑃))
2217, 21jaoi 851 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 1) → (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∥ 𝑃))
2322com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 1) → 2 ∥ 𝑃))
2413, 23sylbid 241 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 2 → 2 ∥ 𝑃))
2524con3dimp 409 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ¬ 𝑃 ∥ 2)
26 2z 12002 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
2725, 26jctil 520 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (2 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 2))
28 2lgslem1 25897 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))}) = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))))
2928eqcomd 2824 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))}))
30 nnoddn2prmb 16138 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
3130biimpri 229 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
32313ad2ant1 1125 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 2) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))})) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
33 eqid 2818 . . . . . . . 8 ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 − 1) / 2)
34 eqid 2818 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ if((𝑦 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑦 · 2), (𝑃 − (𝑦 · 2)))) = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ if((𝑦 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑦 · 2), (𝑃 − (𝑦 · 2))))
35 eqid 2818 . . . . . . . 8 (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(𝑃 / 4))
36 eqid 2818 . . . . . . . 8 (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
3732, 33, 34, 35, 36gausslemma2d 25877 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 2) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))})) → (2 /L 𝑃) = (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))))
3837eqeq1d 2820 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 2) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (♯‘{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑥 = (𝑖 · 2) ∧ (𝑃 / 2) < (𝑥 mod 𝑃))})) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))) = 1))
3927, 29, 38mpd3an23 1454 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))) = 1))
40362lgslem2 25898 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ∈ ℤ)
41 m1exp1 15715 . . . . . 6 ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ∈ ℤ → ((-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))) = 1 ↔ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))))
4240, 41syl 17 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((-1↑(((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))) = 1 ↔ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))))
43 2nn 11698 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
44 dvdsval3 15599 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ ∧ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ∈ ℤ) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ↔ ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = 0))
4543, 40, 44sylancr 587 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ↔ ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = 0))
46362lgslem3 25907 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
4711, 46sylan 580 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
4847eqeq1d 2820 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) mod 2) = 0 ↔ if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0))
49 ax-1 6 . . . . . . . . 9 ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
50 iffalse 4472 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 1)
5150eqeq1d 2820 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 ↔ 1 = 0))
52 ax-1ne0 10594 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
53 eqneqall 3024 . . . . . . . . . . 11 (1 = 0 → (1 ≠ 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
5452, 53mpi 20 . . . . . . . . . 10 (1 = 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
5551, 54syl6bi 254 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
5649, 55pm2.61i 183 . . . . . . . 8 (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
57 iftrue 4469 . . . . . . . 8 ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0)
5856, 57impbii 210 . . . . . . 7 (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
5958a1i 11 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
6045, 48, 593bitrd 306 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
6139, 42, 603bitrd 306 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
6261expcom 414 . . 3 (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})))
639, 62jaoi 851 . 2 ((𝑃 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})))
641, 63mpcom 38 1 (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  {crab 3139  cdif 3930  ifcif 4463  {csn 4557  {cpr 4559   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530   < clt 10663  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  4c4 11682  7c7 11685  8c8 11686  cz 11969  ...cfz 12880  cfl 13148   mod cmo 13225  cexp 13417  chash 13678  cdvds 15595  cprime 16003   /L clgs 25797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-prod 15248  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-phi 16091  df-pc 16162  df-lgs 25798
This theorem is referenced by:  2lgsoddprm  25919  fmtnoprmfac2lem1  43605  sfprmdvdsmersenne  43645
  Copyright terms: Public domain W3C validator