MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1a1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem1a1 24831
Description: Lemma 1 for 2lgslem1a 24833. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem1a1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∀𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
Distinct variable group:   𝑃,𝑖

Proof of Theorem 2lgslem1a1
StepHypRef Expression
1 nnrp 11674 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
21adantr 479 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ+)
3 elfzelz 12168 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑖 ∈ ℤ)
4 zre 11214 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℝ)
5 2re 10937 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
74, 6remulcld 9926 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ∈ ℝ)
83, 7syl 17 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝑖 · 2) ∈ ℝ)
92, 8anim12ci 588 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑖 · 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
10 elfznn 12196 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑖 ∈ ℕ)
11 nnre 10874 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ)
12 nnnn0 11146 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ0)
1312nn0ge0d 11201 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑖)
14 0le2 10958 . . . . . . . . 9 0 ≤ 2
155, 14pm3.2i 469 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
1615a1i 11 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2))
17 mulge0 10395 . . . . . . 7 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑖) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) → 0 ≤ (𝑖 · 2))
1811, 13, 16, 17syl21anc 1316 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑖 · 2))
1910, 18syl 17 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 0 ≤ (𝑖 · 2))
2019adantl 480 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 ≤ (𝑖 · 2))
21 elfz2 12159 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
2243ad2ant3 1076 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℝ)
23 zre 11214 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
24233ad2ant2 1075 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
25 2pos 10959 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
265, 25pm3.2i 469 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
28 lemul1 10724 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2)))
2922, 24, 27, 28syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2)))
30 nncn 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
31 peano2cnm 10198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
33 2cnd 10940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
34 2ne0 10960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ≠ 0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
3632, 33, 35divcan1d 10651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℕ → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
3736adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
3837adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
3938breq2d 4589 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) ↔ (𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
40 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℤ)
41 2z 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℤ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
4340, 42zmulcld 11320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
44433ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
45 nnz 11232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
4645adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
47 zltlem1 11263 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 · 2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑖 · 2) < 𝑃 ↔ (𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
4844, 46, 47syl2an 492 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) < 𝑃 ↔ (𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
4948biimprd 236 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) ≤ (𝑃 − 1) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
5039, 49sylbid 228 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
5150ex 448 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) → (𝑖 · 2) < 𝑃)))
5251com23 83 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · 2) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) · 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃)))
5329, 52sylbid 228 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃)))
5453a1d 25 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑖 → (𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃))))
5554imp32 447 . . . . . 6 (((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
5621, 55sylbi 205 . . . . 5 (𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑖 · 2) < 𝑃))
5756impcom 444 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 · 2) < 𝑃)
58 modid 12512 . . . 4 ((((𝑖 · 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑖 · 2) ∧ (𝑖 · 2) < 𝑃)) → ((𝑖 · 2) mod 𝑃) = (𝑖 · 2))
599, 20, 57, 58syl12anc 1315 . . 3 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑖 · 2) mod 𝑃) = (𝑖 · 2))
6059eqcomd 2615 . 2 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
6160ralrimiva 2948 1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ∀𝑖 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(𝑖 · 2) = ((𝑖 · 2) mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  cz 11210  +crp 11664  ...cfz 12152   mod cmo 12485  cdvds 14767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fl 12410  df-mod 12486
This theorem is referenced by:  2lgslem1a  24833
  Copyright terms: Public domain W3C validator