MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem1c 24831
Description: Lemma 3 for 2lgslem1 24832. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem1c ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))

Proof of Theorem 2lgslem1c
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 15168 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2 nnnn0 11142 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3 oddnn02np1 14852 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃))
41, 2, 33syl 18 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃))
5 iftrue 4037 . . . . . . . . . 10 (2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = (𝑛 / 2))
65adantr 479 . . . . . . . . 9 ((2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = (𝑛 / 2))
7 2nn 11028 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
8 nn0ledivnn 11769 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
97, 8mpan2 702 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
109adantl 480 . . . . . . . . 9 ((2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
116, 10eqbrtrd 4595 . . . . . . . 8 ((2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
12 iffalse 4040 . . . . . . . . . 10 (¬ 2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = ((𝑛 − 1) / 2))
1312adantr 479 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = ((𝑛 − 1) / 2))
14 nn0re 11144 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
15 peano2rem 10195 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
1615rehalfcld 11122 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℝ → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℝ)
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℝ)
1814rehalfcld 11122 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 / 2) ∈ ℝ)
1914lem1d 10802 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 − 1) ≤ 𝑛)
2014, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
21 2re 10933 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
22 2pos 10955 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
2321, 22pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25 lediv1 10733 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2)))
2620, 14, 24, 25syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2)))
2719, 26mpbid 220 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2))
2817, 18, 14, 27, 9letrd 10041 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ 𝑛)
2928adantl 480 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ 𝑛)
3013, 29eqbrtrd 4595 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
3111, 30pm2.61ian 826 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
3231ad2antlr 758 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
33 nn0z 11229 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
3433adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
35 eqcom 2612 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1))
3635biimpi 204 . . . . . . 7 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1))
37 flodddiv4 14917 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)))
3834, 36, 37syl2an 492 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)))
39 oveq1 6530 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
4039eqcoms 2613 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
4140adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
42 2nn0 11152 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
44 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
4543, 44nn0mulcld 11199 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
4645nn0cnd 11196 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
47 pncan1 10301 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
4948ad2antlr 758 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
5041, 49eqtrd 2639 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (𝑃 − 1) = (2 · 𝑛))
5150oveq1d 6538 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
52 nn0cn 11145 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
53 2cnd 10936 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
54 2ne0 10956 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
5554a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
5652, 53, 55divcan3d 10651 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
5756ad2antlr 758 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
5851, 57eqtrd 2639 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) = 𝑛)
5932, 38, 583brtr4d 4605 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
6059ex 448 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
6160rexlimdva 3008 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
624, 61sylbid 228 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
6362imp 443 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wrex 2892  ifcif 4031   class class class wbr 4573  cfv 5786  (class class class)co 6523  cc 9786  cr 9787  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791   · cmul 9793   < clt 9926  cle 9927  cmin 10113   / cdiv 10529  cn 10863  2c2 10913  4c4 10915  0cn0 11135  cz 11206  cfl 12404  cdvds 14763  cprime 15165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-sup 8204  df-inf 8205  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-rp 11661  df-fl 12406  df-dvds 14764  df-prm 15166
This theorem is referenced by:  2lgslem1  24832
  Copyright terms: Public domain W3C validator