Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem1c 25052
 Description: Lemma 3 for 2lgslem1 25053. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem1c ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))

Proof of Theorem 2lgslem1c
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 15331 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2 nnnn0 11259 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3 oddnn02np1 15015 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃))
41, 2, 33syl 18 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃))
5 iftrue 4070 . . . . . . . . . 10 (2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = (𝑛 / 2))
65adantr 481 . . . . . . . . 9 ((2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = (𝑛 / 2))
7 2nn 11145 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
8 nn0ledivnn 11901 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
97, 8mpan2 706 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
109adantl 482 . . . . . . . . 9 ((2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
116, 10eqbrtrd 4645 . . . . . . . 8 ((2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
12 iffalse 4073 . . . . . . . . . 10 (¬ 2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = ((𝑛 − 1) / 2))
1312adantr 481 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = ((𝑛 − 1) / 2))
14 nn0re 11261 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
15 peano2rem 10308 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
1615rehalfcld 11239 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℝ → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℝ)
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℝ)
1814rehalfcld 11239 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 / 2) ∈ ℝ)
1914lem1d 10917 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 − 1) ≤ 𝑛)
2014, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
21 2re 11050 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
22 2pos 11072 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
2321, 22pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25 lediv1 10848 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2)))
2620, 14, 24, 25syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2)))
2719, 26mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2))
2817, 18, 14, 27, 9letrd 10154 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ 𝑛)
2928adantl 482 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ 𝑛)
3013, 29eqbrtrd 4645 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
3111, 30pm2.61ian 830 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
3231ad2antlr 762 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
33 nn0z 11360 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
3433adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
35 eqcom 2628 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1))
3635biimpi 206 . . . . . . 7 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1))
37 flodddiv4 15080 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)))
3834, 36, 37syl2an 494 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)))
39 oveq1 6622 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
4039eqcoms 2629 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
4140adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
42 2nn0 11269 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
44 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
4543, 44nn0mulcld 11316 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
4645nn0cnd 11313 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
47 pncan1 10414 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
4948ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
5041, 49eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (𝑃 − 1) = (2 · 𝑛))
5150oveq1d 6630 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
52 nn0cn 11262 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
53 2cnd 11053 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
54 2ne0 11073 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
5554a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
5652, 53, 55divcan3d 10766 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
5756ad2antlr 762 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
5851, 57eqtrd 2655 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) = 𝑛)
5932, 38, 583brtr4d 4655 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
6059ex 450 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
6160rexlimdva 3026 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
624, 61sylbid 230 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
6362imp 445 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∃wrex 2909  ifcif 4064   class class class wbr 4623  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℂcc 9894  ℝcr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901   < clt 10034   ≤ cle 10035   − cmin 10226   / cdiv 10644  ℕcn 10980  2c2 11030  4c4 11032  ℕ0cn0 11252  ℤcz 11337  ⌊cfl 12547   ∥ cdvds 14926  ℙcprime 15328 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-inf 8309  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fl 12549  df-dvds 14927  df-prm 15329 This theorem is referenced by:  2lgslem1  25053
 Copyright terms: Public domain W3C validator