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Theorem 2lgslem3 24874
Description: Lemma 3 for 2lgs 24877. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))

Proof of Theorem 2lgslem3
StepHypRef Expression
1 nnz 11235 . . 3 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
2 lgsdir2lem3 24797 . . 3 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
31, 2sylan 487 . 2 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
4 elun 3715 . . 3 ((𝑃 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝑃 mod 8) ∈ {3, 5}))
5 ovex 6555 . . . . . . . . 9 (𝑃 mod 8) ∈ V
65elpr 4146 . . . . . . . 8 ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7))
7 2lgslem2.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
872lgslem3a1 24870 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 1) → (𝑁 mod 2) = 0)
98a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = 0))
109expcom 450 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 mod 8) = 1 → (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = 0)))
1110impd 446 . . . . . . . . 9 ((𝑃 mod 8) = 1 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = 0))
1272lgslem3d1 24873 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (𝑁 mod 2) = 0)
1312a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = 0))
1413expcom 450 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 mod 8) = 7 → (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = 0)))
1514impd 446 . . . . . . . . 9 ((𝑃 mod 8) = 7 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = 0))
1611, 15jaoi 393 . . . . . . . 8 (((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = 0))
176, 16sylbi 206 . . . . . . 7 ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = 0))
1817imp 444 . . . . . 6 (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → (𝑁 mod 2) = 0)
19 iftrue 4042 . . . . . . 7 ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0)
2019adantr 480 . . . . . 6 (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 0)
2118, 20eqtr4d 2647 . . . . 5 (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃)) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
2221ex 449 . . . 4 ((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
235elpr 4146 . . . . 5 ((𝑃 mod 8) ∈ {3, 5} ↔ ((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5))
2472lgslem3b1 24871 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 3) → (𝑁 mod 2) = 1)
2524expcom 450 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 mod 8) = 3 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑁 mod 2) = 1))
2672lgslem3c1 24872 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 5) → (𝑁 mod 2) = 1)
2726expcom 450 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 mod 8) = 5 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑁 mod 2) = 1))
2825, 27jaoi 393 . . . . . . . . 9 (((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑁 mod 2) = 1))
2928imp 444 . . . . . . . 8 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 2) = 1)
30 1re 9896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
31 1lt3 11046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 3
3230, 31ltneii 10002 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 3
3332nesymi 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 3 = 1
34 3re 10944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ
35 3lt7 11062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 < 7
3634, 35ltneii 10002 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ≠ 7
3736neii 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 3 = 7
3833, 37pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 3 = 1 ∧ ¬ 3 = 7)
39 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 mod 8) = 3 → ((𝑃 mod 8) = 1 ↔ 3 = 1))
4039notbid 307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 mod 8) = 3 → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ↔ ¬ 3 = 1))
41 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 mod 8) = 3 → ((𝑃 mod 8) = 7 ↔ 3 = 7))
4241notbid 307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 mod 8) = 3 → (¬ (𝑃 mod 8) = 7 ↔ ¬ 3 = 7))
4340, 42anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 mod 8) = 3 → ((¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7) ↔ (¬ 3 = 1 ∧ ¬ 3 = 7)))
4438, 43mpbiri 247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 mod 8) = 3 → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
45 1lt5 11053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 5
4630, 45ltneii 10002 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 5
4746nesymi 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 5 = 1
48 5re 10949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 ∈ ℝ
49 5lt7 11060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 < 7
5048, 49ltneii 10002 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ≠ 7
5150neii 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 5 = 7
5247, 51pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 5 = 1 ∧ ¬ 5 = 7)
53 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 mod 8) = 5 → ((𝑃 mod 8) = 1 ↔ 5 = 1))
5453notbid 307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 mod 8) = 5 → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ↔ ¬ 5 = 1))
55 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 mod 8) = 5 → ((𝑃 mod 8) = 7 ↔ 5 = 7))
5655notbid 307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 mod 8) = 5 → (¬ (𝑃 mod 8) = 7 ↔ ¬ 5 = 7))
5754, 56anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 mod 8) = 5 → ((¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7) ↔ (¬ 5 = 1 ∧ ¬ 5 = 7)))
5852, 57mpbiri 247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 mod 8) = 5 → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
5944, 58jaoi 393 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
6059adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
61 ioran 510 . . . . . . . . . . 11 (¬ ((𝑃 mod 8) = 1 ∨ (𝑃 mod 8) = 7) ↔ (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
6261, 6xchnxbir 322 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (¬ (𝑃 mod 8) = 1 ∧ ¬ (𝑃 mod 8) = 7))
6360, 62sylibr 223 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ¬ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
6463iffalsed 4047 . . . . . . . 8 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1) = 1)
6529, 64eqtr4d 2647 . . . . . . 7 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
6665a1d 25 . . . . . 6 ((((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
6766expimpd 627 . . . . 5 (((𝑃 mod 8) = 3 ∨ (𝑃 mod 8) = 5) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
6823, 67sylbi 206 . . . 4 ((𝑃 mod 8) ∈ {3, 5} → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
6922, 68jaoi 393 . . 3 (((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ (𝑃 mod 8) ∈ {3, 5}) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
704, 69sylbi 206 . 2 ((𝑃 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1)))
713, 70mpcom 37 1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑁 mod 2) = if((𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}, 0, 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  cun 3538  ifcif 4036  {cpr 4127   class class class wbr 4578  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9793  1c1 9794  cmin 10118   / cdiv 10536  cn 10870  2c2 10920  3c3 10921  4c4 10922  5c5 10923  7c7 10925  8c8 10926  cz 11213  cfl 12411   mod cmo 12488  cdvds 14770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-sup 8209  df-inf 8210  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-ico 12011  df-fz 12156  df-fl 12413  df-mod 12489  df-dvds 14771
This theorem is referenced by:  2lgs  24877
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