Theorem 2lgslem3b1 25171

Description: Lemma 2 for 2lgslem3 25174. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3b1	⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 3) → (𝑁 mod 2) = 1)

Proof of Theorem 2lgslem3b1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 11337	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
2		8nn 11229	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		nnrp 11880	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ+
5		modmuladdnn0 12754	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝑃 mod 8) = 3 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 3)))
6	1, 4, 5	sylancl 695	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 3 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 3)))
7		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8		nn0cn 11340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
9		8cn 11144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 ∈ ℂ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
11	8, 10	mulcomd 10099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
13	12	oveq1d 6705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 · 8) + 3) = ((8 · 𝑘) + 3))
14	13	eqeq2d 2661	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑘 · 8) + 3) ↔ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 3)))
15	14	biimpa 500	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 3)) → 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 3))
16		2lgslem2.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
17	16	2lgslem3b 25167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 3)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1))
18	7, 15, 17	syl2an2r 893	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 3)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1))
19		oveq1 6697	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1) → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑘) + 1) mod 2))
20		nn0z 11438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
21		eqidd 2652	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
22		2tp1odd 15123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1)) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1))
23	20, 21, 22	syl2anc 694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1))
24		2z 11447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
26	25, 20	zmulcld 11526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
27	26	peano2zd 11523	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ)
28		mod2eq1n2dvds 15118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ → ((((2 · 𝑘) + 1) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑘) + 1) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1)))
30	23, 29	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) mod 2) = 1)
31	19, 30	sylan9eqr 2707	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (𝑁 mod 2) = 1)
32	7, 18, 31	syl2an2r 893	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 3)) → (𝑁 mod 2) = 1)
33	32	ex 449	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑘 · 8) + 3) → (𝑁 mod 2) = 1))
34	33	rexlimdva 3060	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 3) → (𝑁 mod 2) = 1))
35	6, 34	syld 47	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 3 → (𝑁 mod 2) = 1))
36	35	imp 444	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 3) → (𝑁 mod 2) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   − cmin 10304   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  8c8 11114  ℕ₀cn0 11330  ℤcz 11415  ℝ⁺crp 11870  ⌊cfl 12631   mod cmo 12708   ∥ cdvds 15027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-fl 12633  df-mod 12709  df-dvds 15028

This theorem is referenced by:  2lgslem3  25174