MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3c 25104
Description: Lemma for 2lgslem3c1 25108. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3c ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1))

Proof of Theorem 2lgslem3c
StepHypRef Expression
1 2lgslem2.n . . 3 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2 oveq1 6642 . . . . 5 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 5) − 1))
32oveq1d 6650 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2))
4 oveq1 6642 . . . . 5 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (𝑃 / 4) = (((8 · 𝐾) + 5) / 4))
54fveq2d 6182 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)))
63, 5oveq12d 6653 . . 3 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))))
71, 6syl5eq 2666 . 2 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))))
8 8nn0 11300 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℕ0
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
10 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)
119, 10nn0mulcld 11341 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 11338 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
13 5cn 11085 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 5 ∈ ℂ)
15 1cnd 10041 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
1612, 14, 15addsubassd 10397 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) − 1) = ((8 · 𝐾) + (5 − 1)))
17 4t2e8 11166 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
1817eqcomi 2629 . . . . . . . . . . 11 8 = (4 · 2)
1918a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (4 · 2))
2019oveq1d 6650 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 2) · 𝐾))
21 4cn 11083 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
23 2cn 11076 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
25 nn0cn 11287 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
2622, 24, 25mul32d 10231 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
2720, 26eqtrd 2654 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
28 df-5 11067 . . . . . . . . . . 11 5 = (4 + 1)
2928oveq1i 6645 . . . . . . . . . 10 (5 − 1) = ((4 + 1) − 1)
30 pncan1 10439 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ ℂ → ((4 + 1) − 1) = 4)
3121, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((4 + 1) − 1) = 4
3229, 31eqtri 2642 . . . . . . . . 9 (5 − 1) = 4
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (5 − 1) = 4)
3427, 33oveq12d 6653 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) + (5 − 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 4))
3516, 34eqtrd 2654 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 4))
3635oveq1d 6650 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 4) / 2))
37 4nn0 11296 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ0
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
3938, 10nn0mulcld 11341 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
4039nn0cnd 11338 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
4140, 24mulcld 10045 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
42 2rp 11822 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
4443rpcnne0d 11866 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
45 divdir 10695 . . . . . 6 ((((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((4 · 𝐾) · 2) + 4) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 / 2)))
4641, 22, 44, 45syl3anc 1324 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) + 4) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 / 2)))
47 2ne0 11098 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
4847a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
4940, 24, 48divcan4d 10792 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) · 2) / 2) = (4 · 𝐾))
50 4d2e2 11169 . . . . . . 7 (4 / 2) = 2
5150a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 / 2) = 2)
5249, 51oveq12d 6653 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 2))
5336, 46, 523eqtrd 2658 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 2))
54 4ne0 11102 . . . . . . . . . 10 4 ≠ 0
5521, 54pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
5655a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
57 divdir 10695 . . . . . . . 8 (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 5) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (5 / 4)))
5812, 14, 56, 57syl3anc 1324 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (5 / 4)))
59 8cn 11091 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℂ
6059a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
61 div23 10689 . . . . . . . . . 10 ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
6260, 25, 56, 61syl3anc 1324 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
6318oveq1i 6645 . . . . . . . . . . . 12 (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
6423, 21, 54divcan3i 10756 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 2) / 4) = 2
6563, 64eqtri 2642 . . . . . . . . . . 11 (8 / 4) = 2
6665a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
6766oveq1d 6650 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
6862, 67eqtrd 2654 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
6968oveq1d 6650 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (5 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
7058, 69eqtrd 2654 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) / 4) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
7170fveq2d 6182 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))))
72 1lt4 11184 . . . . . 6 1 < 4
73 2nn0 11294 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
7473a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
7574, 10nn0mulcld 11341 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
7675nn0zd 11465 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
7776peano2zd 11470 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
78 1nn0 11293 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
7978a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
80 4nn 11172 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
8180a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
82 adddivflid 12602 . . . . . . . 8 ((((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
8377, 79, 81, 82syl3anc 1324 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
8424, 25mulcld 10045 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
8554a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ≠ 0)
8622, 85reccld 10779 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 / 4) ∈ ℂ)
8784, 15, 86addassd 10047 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 + (1 / 4))))
8828oveq1i 6645 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 / 4) = ((4 + 1) / 4)
89 ax-1cn 9979 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
9021, 89, 21, 54divdiri 10767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 + 1) / 4) = ((4 / 4) + (1 / 4))
9121, 54dividi 10743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 / 4) = 1
9291oveq1i 6645 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 / 4) + (1 / 4)) = (1 + (1 / 4))
9388, 90, 923eqtri 2646 . . . . . . . . . . . . 13 (5 / 4) = (1 + (1 / 4))
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → (5 / 4) = (1 + (1 / 4)))
9594eqcomd 2626 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 + (1 / 4)) = (5 / 4))
9695oveq2d 6651 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + (1 + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
9787, 96eqtrd 2654 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
9897fveq2d 6182 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))))
9998eqeq1d 2622 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1) ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
10083, 99bitrd 268 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
10172, 100mpbii 223 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
10271, 101eqtrd 2654 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)) = ((2 · 𝐾) + 1))
10353, 102oveq12d 6653 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 2) − ((2 · 𝐾) + 1)))
10475nn0cnd 11338 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
10540, 24, 104, 15addsub4d 10424 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) + 2) − ((2 · 𝐾) + 1)) = (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (2 − 1)))
106 2t2e4 11162 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
107106eqcomi 2629 . . . . . . . . 9 4 = (2 · 2)
108107a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
109108oveq1d 6650 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
11024, 24, 25mulassd 10048 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
111109, 110eqtrd 2654 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
112111oveq1d 6650 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
113 2txmxeqx 11134 . . . . . 6 ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
114104, 113syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
115112, 114eqtrd 2654 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
116 2m1e1 11120 . . . . 5 (2 − 1) = 1
117116a1i 11 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
118115, 117oveq12d 6653 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (2 − 1)) = ((2 · 𝐾) + 1))
119103, 105, 1183eqtrd 2658 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
1207, 119sylan9eqr 2676 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926   < clt 10059  cmin 10251   / cdiv 10669  cn 11005  2c2 11055  4c4 11057  5c5 11058  8c8 11061  0cn0 11277  cz 11362  +crp 11817  cfl 12574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fl 12576
This theorem is referenced by:  2lgslem3c1  25108
  Copyright terms: Public domain W3C validator