MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3c 24837
Description: Lemma for 2lgslem3c1 24841. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3c ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1))

Proof of Theorem 2lgslem3c
StepHypRef Expression
1 2lgslem2.n . . 3 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2 oveq1 6531 . . . . 5 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 5) − 1))
32oveq1d 6539 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2))
4 oveq1 6531 . . . . 5 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (𝑃 / 4) = (((8 · 𝐾) + 5) / 4))
54fveq2d 6089 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)))
63, 5oveq12d 6542 . . 3 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))))
71, 6syl5eq 2652 . 2 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))))
8 8nn0 11159 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℕ0
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
10 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)
119, 10nn0mulcld 11200 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 11197 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
13 5cn 10944 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 5 ∈ ℂ)
15 1cnd 9909 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
1612, 14, 15addsubassd 10260 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) − 1) = ((8 · 𝐾) + (5 − 1)))
17 4t2e8 11025 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
1817eqcomi 2615 . . . . . . . . . . 11 8 = (4 · 2)
1918a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (4 · 2))
2019oveq1d 6539 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 2) · 𝐾))
21 4cn 10942 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
23 2cn 10935 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
25 nn0cn 11146 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
2622, 24, 25mul32d 10094 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
2720, 26eqtrd 2640 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
28 df-5 10926 . . . . . . . . . . 11 5 = (4 + 1)
2928oveq1i 6534 . . . . . . . . . 10 (5 − 1) = ((4 + 1) − 1)
30 pncan1 10302 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ ℂ → ((4 + 1) − 1) = 4)
3121, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((4 + 1) − 1) = 4
3229, 31eqtri 2628 . . . . . . . . 9 (5 − 1) = 4
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (5 − 1) = 4)
3427, 33oveq12d 6542 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) + (5 − 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 4))
3516, 34eqtrd 2640 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 4))
3635oveq1d 6539 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 4) / 2))
37 4nn0 11155 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ0
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
3938, 10nn0mulcld 11200 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
4039nn0cnd 11197 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
4140, 24mulcld 9913 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
42 2rp 11666 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
4443rpcnne0d 11710 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
45 divdir 10556 . . . . . 6 ((((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((4 · 𝐾) · 2) + 4) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 / 2)))
4641, 22, 44, 45syl3anc 1317 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) + 4) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 / 2)))
47 2ne0 10957 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
4847a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
4940, 24, 48divcan4d 10653 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) · 2) / 2) = (4 · 𝐾))
50 4d2e2 11028 . . . . . . 7 (4 / 2) = 2
5150a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 / 2) = 2)
5249, 51oveq12d 6542 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 2))
5336, 46, 523eqtrd 2644 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 2))
54 4ne0 10961 . . . . . . . . . 10 4 ≠ 0
5521, 54pm3.2i 469 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
5655a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
57 divdir 10556 . . . . . . . 8 (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 5) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (5 / 4)))
5812, 14, 56, 57syl3anc 1317 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (5 / 4)))
59 8cn 10950 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℂ
6059a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
61 div23 10550 . . . . . . . . . 10 ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
6260, 25, 56, 61syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
6318oveq1i 6534 . . . . . . . . . . . 12 (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
6423, 21, 54divcan3i 10617 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 2) / 4) = 2
6563, 64eqtri 2628 . . . . . . . . . . 11 (8 / 4) = 2
6665a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
6766oveq1d 6539 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
6862, 67eqtrd 2640 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
6968oveq1d 6539 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (5 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
7058, 69eqtrd 2640 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) / 4) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
7170fveq2d 6089 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))))
72 1lt4 11043 . . . . . 6 1 < 4
73 2nn0 11153 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
7473a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
7574, 10nn0mulcld 11200 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
7675nn0zd 11309 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
7776peano2zd 11314 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
78 1nn0 11152 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
7978a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
80 4nn 11031 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
8180a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
82 adddivflid 12433 . . . . . . . 8 ((((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
8377, 79, 81, 82syl3anc 1317 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
8424, 25mulcld 9913 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
8554a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ≠ 0)
8622, 85reccld 10640 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 / 4) ∈ ℂ)
8784, 15, 86addassd 9915 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 + (1 / 4))))
8828oveq1i 6534 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 / 4) = ((4 + 1) / 4)
89 ax-1cn 9847 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
9021, 89, 21, 54divdiri 10628 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 + 1) / 4) = ((4 / 4) + (1 / 4))
9121, 54dividi 10604 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 / 4) = 1
9291oveq1i 6534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 / 4) + (1 / 4)) = (1 + (1 / 4))
9388, 90, 923eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . 13 (5 / 4) = (1 + (1 / 4))
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → (5 / 4) = (1 + (1 / 4)))
9594eqcomd 2612 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 + (1 / 4)) = (5 / 4))
9695oveq2d 6540 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + (1 + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
9787, 96eqtrd 2640 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
9897fveq2d 6089 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))))
9998eqeq1d 2608 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1) ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
10083, 99bitrd 266 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
10172, 100mpbii 221 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
10271, 101eqtrd 2640 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)) = ((2 · 𝐾) + 1))
10353, 102oveq12d 6542 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 2) − ((2 · 𝐾) + 1)))
10475nn0cnd 11197 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
10540, 24, 104, 15addsub4d 10287 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) + 2) − ((2 · 𝐾) + 1)) = (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (2 − 1)))
106 2t2e4 11021 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
107106eqcomi 2615 . . . . . . . . 9 4 = (2 · 2)
108107a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
109108oveq1d 6539 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
11024, 24, 25mulassd 9916 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
111109, 110eqtrd 2640 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
112111oveq1d 6539 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
113 2txmxeqx 10993 . . . . . 6 ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
114104, 113syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
115112, 114eqtrd 2640 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
116 2m1e1 10979 . . . . 5 (2 − 1) = 1
117116a1i 11 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
118115, 117oveq12d 6542 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (2 − 1)) = ((2 · 𝐾) + 1))
119103, 105, 1183eqtrd 2644 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
1207, 119sylan9eqr 2662 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776   class class class wbr 4574  cfv 5787  (class class class)co 6524  cc 9787  0cc0 9789  1c1 9790   + caddc 9792   · cmul 9794   < clt 9927  cmin 10114   / cdiv 10530  cn 10864  2c2 10914  4c4 10916  5c5 10917  8c8 10920  0cn0 11136  cz 11207  +crp 11661  cfl 12405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-sup 8205  df-inf 8206  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-rp 11662  df-fl 12407
This theorem is referenced by:  2lgslem3c1  24841
  Copyright terms: Public domain W3C validator