MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3c1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3c1 25326
Description: Lemma 3 for 2lgslem3 25328. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3c1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 5) → (𝑁 mod 2) = 1)

Proof of Theorem 2lgslem3c1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11491 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
2 8nn 11383 . . . . 5 8 ∈ ℕ
3 nnrp 12035 . . . . 5 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 8 ∈ ℝ+
5 modmuladdnn0 12908 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝑃 mod 8) = 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 5)))
61, 4, 5sylancl 697 . . 3 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 5)))
7 simpr 479 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8 nn0cn 11494 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
9 8cn 11298 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℂ
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
118, 10mulcomd 10253 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1211adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1312oveq1d 6828 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 · 8) + 5) = ((8 · 𝑘) + 5))
1413eqeq2d 2770 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑘 · 8) + 5) ↔ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 5)))
1514biimpa 502 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 5)) → 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 5))
16 2lgslem2.n . . . . . . . 8 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
17162lgslem3c 25322 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝑘) + 5)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1))
187, 15, 17syl2an2r 911 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 5)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1))
19 oveq1 6820 . . . . . . 7 (𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1) → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑘) + 1) mod 2))
20 nn0z 11592 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
21 eqidd 2761 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
22 2tp1odd 15278 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1)) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1))
2320, 21, 22syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1))
24 2z 11601 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
2625, 20zmulcld 11680 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
2726peano2zd 11677 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ)
28 mod2eq1n2dvds 15273 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ → ((((2 · 𝑘) + 1) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1)))
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑘) + 1) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1)))
3023, 29mpbird 247 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) mod 2) = 1)
3119, 30sylan9eqr 2816 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (𝑁 mod 2) = 1)
327, 18, 31syl2an2r 911 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 5)) → (𝑁 mod 2) = 1)
3332ex 449 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑘 · 8) + 5) → (𝑁 mod 2) = 1))
3433rexlimdva 3169 . . 3 (𝑃 ∈ ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 5) → (𝑁 mod 2) = 1))
356, 34syld 47 . 2 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 5 → (𝑁 mod 2) = 1))
3635imp 444 1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 5) → (𝑁 mod 2) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  4c4 11264  5c5 11265  8c8 11268  0cn0 11484  cz 11569  +crp 12025  cfl 12785   mod cmo 12862  cdvds 15182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ico 12374  df-fl 12787  df-mod 12863  df-dvds 15183
This theorem is referenced by:  2lgslem3  25328
  Copyright terms: Public domain W3C validator