MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3c1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3c1 24844
Description: Lemma 3 for 2lgslem3 24846. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3c1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 5) → (𝑁 mod 2) = 1)

Proof of Theorem 2lgslem3c1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11146 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
2 8nn 11038 . . . . 5 8 ∈ ℕ
3 nnrp 11674 . . . . 5 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 8 ∈ ℝ+
5 modmuladdnn0 12531 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝑃 mod 8) = 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 5)))
61, 4, 5sylancl 692 . . 3 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 5)))
7 simpr 475 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8 nn0cn 11149 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
9 8cn 10953 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℂ
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
118, 10mulcomd 9917 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1211adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1312oveq1d 6542 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 · 8) + 5) = ((8 · 𝑘) + 5))
1413eqeq2d 2619 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑘 · 8) + 5) ↔ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 5)))
1514biimpa 499 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 5)) → 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 5))
16 2lgslem2.n . . . . . . . 8 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
17162lgslem3c 24840 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝑘) + 5)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1))
187, 15, 17syl2an2r 871 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 5)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1))
19 oveq1 6534 . . . . . . 7 (𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1) → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑘) + 1) mod 2))
20 nn0z 11233 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
21 eqidd 2610 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
22 2tp1odd 14860 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1)) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1))
2320, 21, 22syl2anc 690 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1))
24 2z 11242 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
2625, 20zmulcld 11320 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
2726peano2zd 11317 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ)
28 mod2eq1n2dvds 14855 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℤ → ((((2 · 𝑘) + 1) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1)))
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((((2 · 𝑘) + 1) mod 2) = 1 ↔ ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1)))
3023, 29mpbird 245 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 1) mod 2) = 1)
3119, 30sylan9eqr 2665 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 = ((2 · 𝑘) + 1)) → (𝑁 mod 2) = 1)
327, 18, 31syl2an2r 871 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 5)) → (𝑁 mod 2) = 1)
3332ex 448 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑘 · 8) + 5) → (𝑁 mod 2) = 1))
3433rexlimdva 3012 . . 3 (𝑃 ∈ ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 5) → (𝑁 mod 2) = 1))
356, 34syld 45 . 2 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 5 → (𝑁 mod 2) = 1))
3635imp 443 1 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 5) → (𝑁 mod 2) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  4c4 10919  5c5 10920  8c8 10923  0cn0 11139  cz 11210  +crp 11664  cfl 12408   mod cmo 12485  cdvds 14767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-ico 12008  df-fl 12410  df-mod 12486  df-dvds 14768
This theorem is referenced by:  2lgslem3  24846
  Copyright terms: Public domain W3C validator