MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3d 25169
Description: Lemma for 2lgslem3d1 25173. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3d ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 2))

Proof of Theorem 2lgslem3d
StepHypRef Expression
1 2lgslem2.n . . 3 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2 oveq1 6697 . . . . 5 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 7) − 1))
32oveq1d 6705 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2))
4 oveq1 6697 . . . . 5 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (𝑃 / 4) = (((8 · 𝐾) + 7) / 4))
54fveq2d 6233 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)))
63, 5oveq12d 6708 . . 3 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))))
71, 6syl5eq 2697 . 2 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))))
8 8nn0 11353 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℕ0
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
10 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)
119, 10nn0mulcld 11394 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 11391 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
13 7cn 11142 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 7 ∈ ℂ)
15 1cnd 10094 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
1612, 14, 15addsubassd 10450 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) − 1) = ((8 · 𝐾) + (7 − 1)))
17 4t2e8 11219 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
1817eqcomi 2660 . . . . . . . . . . 11 8 = (4 · 2)
1918a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (4 · 2))
2019oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 2) · 𝐾))
21 4cn 11136 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
23 2cn 11129 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
25 nn0cn 11340 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
2622, 24, 25mul32d 10284 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
2720, 26eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
28 df-7 11122 . . . . . . . . . . 11 7 = (6 + 1)
2928oveq1i 6700 . . . . . . . . . 10 (7 − 1) = ((6 + 1) − 1)
30 6cn 11140 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℂ
31 pncan1 10492 . . . . . . . . . . 11 (6 ∈ ℂ → ((6 + 1) − 1) = 6)
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((6 + 1) − 1) = 6
3329, 32eqtri 2673 . . . . . . . . 9 (7 − 1) = 6
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (7 − 1) = 6)
3527, 34oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) + (7 − 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 6))
3616, 35eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 6))
3736oveq1d 6705 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2))
38 4nn0 11349 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ0
3938a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
4039, 10nn0mulcld 11394 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
4140nn0cnd 11391 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
4241, 24mulcld 10098 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
4330a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → 6 ∈ ℂ)
44 2rp 11875 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
4544a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
4645rpcnne0d 11919 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
47 divdir 10748 . . . . . 6 ((((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)))
4842, 43, 46, 47syl3anc 1366 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)))
49 2ne0 11151 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
5049a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
5141, 24, 50divcan4d 10845 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) · 2) / 2) = (4 · 𝐾))
52 3t2e6 11217 . . . . . . . . . 10 (3 · 2) = 6
5352eqcomi 2660 . . . . . . . . 9 6 = (3 · 2)
5453oveq1i 6700 . . . . . . . 8 (6 / 2) = ((3 · 2) / 2)
55 3cn 11133 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
5655, 23, 49divcan4i 10810 . . . . . . . 8 ((3 · 2) / 2) = 3
5754, 56eqtri 2673 . . . . . . 7 (6 / 2) = 3
5857a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (6 / 2) = 3)
5951, 58oveq12d 6708 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 3))
6037, 48, 593eqtrd 2689 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 3))
61 4ne0 11155 . . . . . . . . . 10 4 ≠ 0
6221, 61pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
6362a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
64 divdir 10748 . . . . . . . 8 (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)))
6512, 14, 63, 64syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)))
66 8cn 11144 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℂ
6766a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
68 div23 10742 . . . . . . . . . 10 ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
6967, 25, 63, 68syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
7018oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . 12 (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
7123, 21, 61divcan3i 10809 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 2) / 4) = 2
7270, 71eqtri 2673 . . . . . . . . . . 11 (8 / 4) = 2
7372a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
7473oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
7569, 74eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
7675oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
7765, 76eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
7877fveq2d 6233 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))))
79 3lt4 11235 . . . . . 6 3 < 4
80 2nn0 11347 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
8180a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
8281, 10nn0mulcld 11394 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
8382nn0zd 11518 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
8483peano2zd 11523 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
85 3nn0 11348 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
8685a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
87 4nn 11225 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
8887a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
89 adddivflid 12659 . . . . . . . 8 ((((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
9084, 86, 88, 89syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
9124, 25mulcld 10098 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
9255a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
9361a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ≠ 0)
9492, 22, 93divcld 10839 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 / 4) ∈ ℂ)
9591, 15, 94addassd 10100 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 + (3 / 4))))
96 4p3e7 11201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 + 3) = 7
9796eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . . 15 7 = (4 + 3)
9897oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 / 4) = ((4 + 3) / 4)
9921, 55, 21, 61divdiri 10820 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 + 3) / 4) = ((4 / 4) + (3 / 4))
10021, 61dividi 10796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 / 4) = 1
101100oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 / 4) + (3 / 4)) = (1 + (3 / 4))
10298, 99, 1013eqtri 2677 . . . . . . . . . . . . 13 (7 / 4) = (1 + (3 / 4))
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → (7 / 4) = (1 + (3 / 4)))
104103eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 + (3 / 4)) = (7 / 4))
105104oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + (1 + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
10695, 105eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
107106fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))))
108107eqeq1d 2653 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1) ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
10990, 108bitrd 268 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
11079, 109mpbii 223 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
11178, 110eqtrd 2685 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)) = ((2 · 𝐾) + 1))
11260, 111oveq12d 6708 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 3) − ((2 · 𝐾) + 1)))
11382nn0cnd 11391 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
11441, 92, 113, 15addsub4d 10477 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) + 3) − ((2 · 𝐾) + 1)) = (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (3 − 1)))
115 2t2e4 11215 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
116115eqcomi 2660 . . . . . . . . 9 4 = (2 · 2)
117116a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
118117oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
11924, 24, 25mulassd 10101 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
120118, 119eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
121120oveq1d 6705 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
122 2txmxeqx 11187 . . . . . 6 ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
123113, 122syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
124121, 123eqtrd 2685 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
125 3m1e2 11175 . . . . 5 (3 − 1) = 2
126125a1i 11 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 − 1) = 2)
127124, 126oveq12d 6708 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (3 − 1)) = ((2 · 𝐾) + 2))
128112, 114, 1273eqtrd 2689 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 2))
1297, 128sylan9eqr 2707 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  6c6 11112  7c7 11113  8c8 11114  0cn0 11330  cz 11415  +crp 11870  cfl 12631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fl 12633
This theorem is referenced by:  2lgslem3d1  25173
  Copyright terms: Public domain W3C validator