MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem3d 24841
Description: Lemma for 2lgslem3d1 24845. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem3d ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 2))

Proof of Theorem 2lgslem3d
StepHypRef Expression
1 2lgslem2.n . . 3 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2 oveq1 6534 . . . . 5 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 7) − 1))
32oveq1d 6542 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2))
4 oveq1 6534 . . . . 5 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (𝑃 / 4) = (((8 · 𝐾) + 7) / 4))
54fveq2d 6092 . . . 4 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)))
63, 5oveq12d 6545 . . 3 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))))
71, 6syl5eq 2655 . 2 (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))))
8 8nn0 11162 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℕ0
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
10 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0)
119, 10nn0mulcld 11203 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 11200 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
13 7cn 10951 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 7 ∈ ℂ)
15 1cnd 9912 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
1612, 14, 15addsubassd 10263 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) − 1) = ((8 · 𝐾) + (7 − 1)))
17 4t2e8 11028 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
1817eqcomi 2618 . . . . . . . . . . 11 8 = (4 · 2)
1918a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (4 · 2))
2019oveq1d 6542 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 2) · 𝐾))
21 4cn 10945 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
23 2cn 10938 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
25 nn0cn 11149 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
2622, 24, 25mul32d 10097 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
2720, 26eqtrd 2643 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
28 df-7 10931 . . . . . . . . . . 11 7 = (6 + 1)
2928oveq1i 6537 . . . . . . . . . 10 (7 − 1) = ((6 + 1) − 1)
30 6cn 10949 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℂ
31 pncan1 10305 . . . . . . . . . . 11 (6 ∈ ℂ → ((6 + 1) − 1) = 6)
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((6 + 1) − 1) = 6
3329, 32eqtri 2631 . . . . . . . . 9 (7 − 1) = 6
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (7 − 1) = 6)
3527, 34oveq12d 6545 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) + (7 − 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 6))
3616, 35eqtrd 2643 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 6))
3736oveq1d 6542 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2))
38 4nn0 11158 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ0
3938a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
4039, 10nn0mulcld 11203 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
4140nn0cnd 11200 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
4241, 24mulcld 9916 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
4330a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → 6 ∈ ℂ)
44 2rp 11669 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
4544a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
4645rpcnne0d 11713 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
47 divdir 10559 . . . . . 6 ((((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)))
4842, 43, 46, 47syl3anc 1317 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)))
49 2ne0 10960 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
5049a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
5141, 24, 50divcan4d 10656 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) · 2) / 2) = (4 · 𝐾))
52 3t2e6 11026 . . . . . . . . . 10 (3 · 2) = 6
5352eqcomi 2618 . . . . . . . . 9 6 = (3 · 2)
5453oveq1i 6537 . . . . . . . 8 (6 / 2) = ((3 · 2) / 2)
55 3cn 10942 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
5655, 23, 49divcan4i 10621 . . . . . . . 8 ((3 · 2) / 2) = 3
5754, 56eqtri 2631 . . . . . . 7 (6 / 2) = 3
5857a1i 11 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (6 / 2) = 3)
5951, 58oveq12d 6545 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 3))
6037, 48, 593eqtrd 2647 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 3))
61 4ne0 10964 . . . . . . . . . 10 4 ≠ 0
6221, 61pm3.2i 469 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
6362a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
64 divdir 10559 . . . . . . . 8 (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)))
6512, 14, 63, 64syl3anc 1317 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)))
66 8cn 10953 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℂ
6766a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
68 div23 10553 . . . . . . . . . 10 ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
6967, 25, 63, 68syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
7018oveq1i 6537 . . . . . . . . . . . 12 (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
7123, 21, 61divcan3i 10620 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 2) / 4) = 2
7270, 71eqtri 2631 . . . . . . . . . . 11 (8 / 4) = 2
7372a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
7473oveq1d 6542 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
7569, 74eqtrd 2643 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
7675oveq1d 6542 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
7765, 76eqtrd 2643 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
7877fveq2d 6092 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))))
79 3lt4 11044 . . . . . 6 3 < 4
80 2nn0 11156 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
8180a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
8281, 10nn0mulcld 11203 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
8382nn0zd 11312 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
8483peano2zd 11317 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
85 3nn0 11157 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
8685a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
87 4nn 11034 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
8887a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
89 adddivflid 12436 . . . . . . . 8 ((((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
9084, 86, 88, 89syl3anc 1317 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
9124, 25mulcld 9916 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
9255a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
9361a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ≠ 0)
9492, 22, 93divcld 10650 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 / 4) ∈ ℂ)
9591, 15, 94addassd 9918 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 + (3 / 4))))
96 4p3e7 11010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 + 3) = 7
9796eqcomi 2618 . . . . . . . . . . . . . . 15 7 = (4 + 3)
9897oveq1i 6537 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 / 4) = ((4 + 3) / 4)
9921, 55, 21, 61divdiri 10631 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 + 3) / 4) = ((4 / 4) + (3 / 4))
10021, 61dividi 10607 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 / 4) = 1
101100oveq1i 6537 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 / 4) + (3 / 4)) = (1 + (3 / 4))
10298, 99, 1013eqtri 2635 . . . . . . . . . . . . 13 (7 / 4) = (1 + (3 / 4))
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → (7 / 4) = (1 + (3 / 4)))
104103eqcomd 2615 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 + (3 / 4)) = (7 / 4))
105104oveq2d 6543 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + (1 + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
10695, 105eqtrd 2643 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
107106fveq2d 6092 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))))
108107eqeq1d 2611 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1) ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
10990, 108bitrd 266 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
11079, 109mpbii 221 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
11178, 110eqtrd 2643 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)) = ((2 · 𝐾) + 1))
11260, 111oveq12d 6545 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 3) − ((2 · 𝐾) + 1)))
11382nn0cnd 11200 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
11441, 92, 113, 15addsub4d 10290 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) + 3) − ((2 · 𝐾) + 1)) = (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (3 − 1)))
115 2t2e4 11024 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
116115eqcomi 2618 . . . . . . . . 9 4 = (2 · 2)
117116a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
118117oveq1d 6542 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
11924, 24, 25mulassd 9919 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
120118, 119eqtrd 2643 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
121120oveq1d 6542 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
122 2txmxeqx 10996 . . . . . 6 ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
123113, 122syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
124121, 123eqtrd 2643 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
125 3m1e2 10984 . . . . 5 (3 − 1) = 2
126125a1i 11 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 − 1) = 2)
127124, 126oveq12d 6545 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (3 − 1)) = ((2 · 𝐾) + 2))
128112, 114, 1273eqtrd 2647 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 2))
1297, 128sylan9eqr 2665 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  3c3 10918  4c4 10919  6c6 10921  7c7 10922  8c8 10923  0cn0 11139  cz 11210  +crp 11664  cfl 12408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fl 12410
This theorem is referenced by:  2lgslem3d1  24845
  Copyright terms: Public domain W3C validator