MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgsoddprmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgsoddprmlem2 25179
Description: Lemma 2 for 2lgsoddprm 25186. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgsoddprmlem2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 8nn 11229 . . . . . 6 8 ∈ ℕ
2 nnrp 11880 . . . . . 6 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 8 ∈ ℝ+
4 eqcom 2658 . . . . . 6 (𝑅 = (𝑁 mod 8) ↔ (𝑁 mod 8) = 𝑅)
5 modmuladdim 12753 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 8) = 𝑅 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
64, 5syl5bi 232 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
73, 6mpan2 707 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
87imp 444 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅))
983adant2 1100 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅))
10 zcn 11420 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
11 8cn 11144 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → 8 ∈ ℂ)
1310, 12mulcomd 10099 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1413adantl 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1514oveq1d 6705 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 8) + 𝑅) = ((8 · 𝑘) + 𝑅))
1615eqeq2d 2661 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) ↔ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)))
17 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
1817adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑘 ∈ ℤ)
19 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 8 ∈ ℕ)
2119, 20zmodcld 12731 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 8) ∈ ℕ0)
2221nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 8) ∈ ℤ)
23223ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℤ)
24 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℤ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℤ))
25243ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℤ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℤ))
2623, 25mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℤ)
2726adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℤ)
2827adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℤ)
29 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅))
30 2lgsoddprmlem1 25178 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
3118, 28, 29, 30syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
3231breq2d 4697 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
33 2z 11447 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
34 simp1 1081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑁 ∈ ℤ)
351a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 8 ∈ ℕ)
3634, 35zmodcld 12731 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℕ0)
3736nn0red 11390 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℝ)
38 eleq1 2718 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℝ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℝ))
39383ad2ant3 1104 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℝ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℝ))
4037, 39mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℝ)
41 resqcl 12971 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
42 peano2rem 10386 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅↑2) ∈ ℝ → ((𝑅↑2) − 1) ∈ ℝ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅↑2) − 1) ∈ ℝ)
44 8re 11143 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℝ
4544a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ → 8 ∈ ℝ)
46 8pos 11159 . . . . . . . . . . . 12 0 < 8
4744, 46gt0ne0ii 10602 . . . . . . . . . . 11 8 ≠ 0
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ → 8 ≠ 0)
4943, 45, 48redivcld 10891 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
5040, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
5150adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
52 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℕ0))
53523ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℕ0))
5436, 53mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℕ0)
55 nn0z 11438 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℤ)
561nnzi 11439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℤ
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 8 ∈ ℤ)
58 zsqcl 12974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘↑2) ∈ ℤ)
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑2) ∈ ℤ)
6057, 59zmulcld 11526 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) ∈ ℤ)
6133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℤ)
62 zmulcl 11464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℤ)
6362ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℤ)
6461, 63zmulcld 11526 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 · (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ)
6560, 64zaddcld 11524 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ)
66 4z 11449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 ∈ ℤ
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℤ)
6867, 59zmulcld 11526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (4 · (𝑘↑2)) ∈ ℤ)
6968, 63zaddcld 11524 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ)
7061, 69jca 553 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℤ ∧ ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ))
71 dvdsmul1 15050 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℤ ∧ ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
73 4t2e8 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 · 2) = 8
74 4cn 11136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ∈ ℂ
75 2cn 11129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℂ
7674, 75mulcomi 10084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 · 2) = (2 · 4)
7773, 76eqtr3i 2675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 8 = (2 · 4)
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 8 = (2 · 4))
7978oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) = ((2 · 4) · (𝑘↑2)))
8075a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
8174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℂ)
8258zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
8382adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
8480, 81, 83mulassd 10101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((2 · 4) · (𝑘↑2)) = (2 · (4 · (𝑘↑2))))
8579, 84eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) = (2 · (4 · (𝑘↑2))))
8685oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) = ((2 · (4 · (𝑘↑2))) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
8768zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (4 · (𝑘↑2)) ∈ ℂ)
8862zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℂ)
8988ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℂ)
9080, 87, 89adddid 10102 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))) = ((2 · (4 · (𝑘↑2))) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
9186, 90eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) = (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
9272, 91breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
9365, 92jca 553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
9493ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
9555, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
9654, 95syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
9796imp 444 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
9897adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
99 dvdsaddre2b 15076 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ ∧ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
10033, 51, 98, 99mp3an2ani 1471 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
10132, 100bitr4d 271 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
102101ex 449 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
10316, 102sylbid 230 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
104103rexlimdva 3060 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
1059, 104mpd 15 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  4c4 11110  8c8 11114  0cn0 11330  cz 11415  +crp 11870   mod cmo 12708  cexp 12900  cdvds 15027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-dvds 15028
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem4  25185
  Copyright terms: Public domain W3C validator