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Theorem 2lgsoddprmlem2 24851
Description: Lemma 2 for 2lgsoddprm 24858. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgsoddprmlem2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 8nn 11038 . . . . . 6 8 ∈ ℕ
2 nnrp 11674 . . . . . 6 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 8 ∈ ℝ+
4 eqcom 2616 . . . . . 6 (𝑅 = (𝑁 mod 8) ↔ (𝑁 mod 8) = 𝑅)
5 modmuladdim 12530 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 8) = 𝑅 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
64, 5syl5bi 230 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
73, 6mpan2 702 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
87imp 443 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅))
983adant2 1072 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅))
10 zcn 11215 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
11 8cn 10953 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → 8 ∈ ℂ)
1310, 12mulcomd 9917 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1413adantl 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
1514oveq1d 6542 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 8) + 𝑅) = ((8 · 𝑘) + 𝑅))
1615eqeq2d 2619 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) ↔ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)))
17 simpr 475 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
1817adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑘 ∈ ℤ)
19 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 8 ∈ ℕ)
2119, 20zmodcld 12508 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 8) ∈ ℕ0)
2221nn0zd 11312 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 8) ∈ ℤ)
23223ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℤ)
24 eleq1 2675 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℤ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℤ))
25243ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℤ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℤ))
2623, 25mpbird 245 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℤ)
2726adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℤ)
2827adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℤ)
29 simpr 475 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅))
30 2lgsoddprmlem1 24850 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
3118, 28, 29, 30syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
3231breq2d 4589 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
33 2z 11242 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
34 simp1 1053 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑁 ∈ ℤ)
351a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 8 ∈ ℕ)
3634, 35zmodcld 12508 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℕ0)
3736nn0red 11199 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℝ)
38 eleq1 2675 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℝ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℝ))
39383ad2ant3 1076 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℝ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℝ))
4037, 39mpbird 245 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℝ)
41 resqcl 12748 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
42 peano2rem 10199 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅↑2) ∈ ℝ → ((𝑅↑2) − 1) ∈ ℝ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅↑2) − 1) ∈ ℝ)
44 8re 10952 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℝ
4544a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ → 8 ∈ ℝ)
46 8pos 10968 . . . . . . . . . . . 12 0 < 8
4744, 46gt0ne0ii 10413 . . . . . . . . . . 11 8 ≠ 0
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ → 8 ≠ 0)
4943, 45, 48redivcld 10702 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
5040, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
5150adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
52 eleq1 2675 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℕ0))
53523ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℕ0))
5436, 53mpbird 245 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℕ0)
55 nn0z 11233 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℤ)
561nnzi 11234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℤ
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 8 ∈ ℤ)
58 zsqcl 12751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘↑2) ∈ ℤ)
5958adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑2) ∈ ℤ)
6057, 59zmulcld 11320 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) ∈ ℤ)
6133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℤ)
62 zmulcl 11259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℤ)
6362ancoms 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℤ)
6461, 63zmulcld 11320 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 · (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ)
6560, 64zaddcld 11318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ)
66 4z 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 ∈ ℤ
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℤ)
6867, 59zmulcld 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (4 · (𝑘↑2)) ∈ ℤ)
6968, 63zaddcld 11318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ)
7061, 69jca 552 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 ∈ ℤ ∧ ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ))
71 dvdsmul1 14787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℤ ∧ ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
73 4t2e8 11028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 · 2) = 8
74 4cn 10945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ∈ ℂ
75 2cn 10938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℂ
7674, 75mulcomi 9902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 · 2) = (2 · 4)
7773, 76eqtr3i 2633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 8 = (2 · 4)
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 8 = (2 · 4))
7978oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) = ((2 · 4) · (𝑘↑2)))
8075a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
8174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℂ)
8258zcnd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
8382adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
8480, 81, 83mulassd 9919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((2 · 4) · (𝑘↑2)) = (2 · (4 · (𝑘↑2))))
8579, 84eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) = (2 · (4 · (𝑘↑2))))
8685oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) = ((2 · (4 · (𝑘↑2))) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
8768zcnd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (4 · (𝑘↑2)) ∈ ℂ)
8862zcnd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℂ)
8988ancoms 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℂ)
9080, 87, 89adddid 9920 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))) = ((2 · (4 · (𝑘↑2))) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
9186, 90eqtr4d 2646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) = (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
9272, 91breqtrrd 4605 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
9365, 92jca 552 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
9493ex 448 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
9555, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
9654, 95syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
9796imp 443 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
9897adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
99 dvdsaddre2b 14813 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ ∧ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
10033, 51, 98, 99mp3an2ani 1422 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
10132, 100bitr4d 269 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
102101ex 448 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
10316, 102sylbid 228 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
104103rexlimdva 3012 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
1059, 104mpd 15 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  4c4 10919  8c8 10923  0cn0 11139  cz 11210  +crp 11664   mod cmo 12485  cexp 12677  cdvds 14767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-ico 12008  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-dvds 14768
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem4  24857
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