MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgsoddprmlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgsoddprmlem3 24883
Description: Lemma 3 for 2lgsoddprm 24885. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgsoddprmlem3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3
StepHypRef Expression
1 lgsdir2lem3 24796 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
2 eleq1 2675 . . . . 5 ((𝑁 mod 8) = 𝑅 → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ 𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
32eqcoms 2617 . . . 4 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ 𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
4 elun 3714 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ (𝑅 ∈ {1, 7} ∨ 𝑅 ∈ {3, 5}))
5 elpri 4144 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ {3, 5} → (𝑅 = 3 ∨ 𝑅 = 5))
6 oveq1 6533 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 = 3 → (𝑅↑2) = (3↑2))
76oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 = 3 → ((𝑅↑2) − 1) = ((3↑2) − 1))
87oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 = 3 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((3↑2) − 1) / 8))
9 2lgsoddprmlem3b 24880 . . . . . . . . . . . 12 (((3↑2) − 1) / 8) = 1
108, 9syl6eq 2659 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = 3 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = 1)
1110breq2d 4589 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = 3 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 1))
12 n2dvds1 14890 . . . . . . . . . . 11 ¬ 2 ∥ 1
1312pm2.21i 114 . . . . . . . . . 10 (2 ∥ 1 → 𝑅 ∈ {1, 7})
1411, 13syl6bi 241 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 3 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
15 oveq1 6533 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 = 5 → (𝑅↑2) = (5↑2))
1615oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 = 5 → ((𝑅↑2) − 1) = ((5↑2) − 1))
1716oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 = 5 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((5↑2) − 1) / 8))
1817breq2d 4589 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((5↑2) − 1) / 8)))
19 2lgsoddprmlem3c 24881 . . . . . . . . . . . 12 (((5↑2) − 1) / 8) = 3
2019breq2i 4585 . . . . . . . . . . 11 (2 ∥ (((5↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 3)
2118, 20syl6bb 274 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 3))
22 n2dvds3 14893 . . . . . . . . . . 11 ¬ 2 ∥ 3
2322pm2.21i 114 . . . . . . . . . 10 (2 ∥ 3 → 𝑅 ∈ {1, 7})
2421, 23syl6bi 241 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
2514, 24jaoi 392 . . . . . . . 8 ((𝑅 = 3 ∨ 𝑅 = 5) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
265, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ {3, 5} → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
2726jao1i 820 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ {1, 7} ∨ 𝑅 ∈ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
284, 27sylbi 205 . . . . 5 (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
29 elpri 4144 . . . . . 6 (𝑅 ∈ {1, 7} → (𝑅 = 1 ∨ 𝑅 = 7))
30 z0even 14889 . . . . . . . 8 2 ∥ 0
31 oveq1 6533 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = 1 → (𝑅↑2) = (1↑2))
3231oveq1d 6541 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = 1 → ((𝑅↑2) − 1) = ((1↑2) − 1))
3332oveq1d 6541 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 1 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((1↑2) − 1) / 8))
34 2lgsoddprmlem3a 24879 . . . . . . . . 9 (((1↑2) − 1) / 8) = 0
3533, 34syl6eq 2659 . . . . . . . 8 (𝑅 = 1 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = 0)
3630, 35syl5breqr 4615 . . . . . . 7 (𝑅 = 1 → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
37 2z 11244 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
38 3z 11245 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
39 dvdsmul1 14789 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 3))
4037, 38, 39mp2an 703 . . . . . . . 8 2 ∥ (2 · 3)
41 oveq1 6533 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = 7 → (𝑅↑2) = (7↑2))
4241oveq1d 6541 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = 7 → ((𝑅↑2) − 1) = ((7↑2) − 1))
4342oveq1d 6541 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 7 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((7↑2) − 1) / 8))
44 2lgsoddprmlem3d 24882 . . . . . . . . 9 (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)
4543, 44syl6eq 2659 . . . . . . . 8 (𝑅 = 7 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (2 · 3))
4640, 45syl5breqr 4615 . . . . . . 7 (𝑅 = 7 → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
4736, 46jaoi 392 . . . . . 6 ((𝑅 = 1 ∨ 𝑅 = 7) → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
4829, 47syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ {1, 7} → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
4928, 48impbid1 213 . . . 4 (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))
503, 49syl6bi 241 . . 3 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7})))
511, 50syl5com 31 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7})))
52513impia 1252 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  cun 3537  {cpr 4126   class class class wbr 4577  (class class class)co 6526  0cc0 9792  1c1 9793   · cmul 9797  cmin 10117   / cdiv 10535  2c2 10919  3c3 10920  5c5 10922  7c7 10924  8c8 10925  cz 11212   mod cmo 12487  cexp 12679  cdvds 14769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-rp 11667  df-fz 12155  df-fl 12412  df-mod 12488  df-seq 12621  df-exp 12680  df-dvds 14770
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem4  24884
  Copyright terms: Public domain W3C validator