Theorem 2lgsoddprmlem3d 25983

Description: Lemma 4 for 2lgsoddprmlem3 25984. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3d	⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 11722	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
2		8cn 11728	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℂ
3		0re 10637	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		8pos 11743	. . . 4 ⊢ 0 < 8
5	3, 4	gtneii 10746	. . 3 ⊢ 8 ≠ 0
6	1, 2, 5	divcan4i 11381	. 2 ⊢ ((6 · 8) / 8) = 6
7	1, 2	mulcli 10642	. . . 4 ⊢ (6 · 8) ∈ ℂ
8		ax-1cn 10589	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		4p3e7 11785	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 3) = 7
10	9	eqcomi 2830	. . . . . 6 ⊢ 7 = (4 + 3)
11	10	oveq1i 7160	. . . . 5 ⊢ (7↑2) = ((4 + 3)↑2)
12		4cn 11716	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
13		3cn 11712	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
14	12, 13	binom2i 13568	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 3)↑2) = (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2))
15		sq4e2t8 13556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
16		2cn 11706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 11799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 · 2) = 8
18	12, 16, 17	mulcomli 10644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	oveq1i 7160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · 3) = (8 · 3)
20	16, 12, 13	mulassi 10646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · 3) = (2 · (4 · 3))
21	2, 13	mulcomi 10643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 · 3) = (3 · 8)
22	19, 20, 21	3eqtr3i 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (4 · 3)) = (3 · 8)
23	15, 22	oveq12i 7162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = ((2 · 8) + (3 · 8))
24	16, 13, 2	adddiri 10648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 3) · 8) = ((2 · 8) + (3 · 8))
25		3p2e5 11782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 2) = 5
26	13, 16, 25	addcomli 10826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 3) = 5
27	26	oveq1i 7160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 3) · 8) = (5 · 8)
28	23, 24, 27	3eqtr2i 2850	. . . . . . . 8 ⊢ ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = (5 · 8)
29		sq3 13555	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑2) = 9
30		df-9 11701	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (8 + 1)
31	29, 30	eqtri 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (3↑2) = (8 + 1)
32	28, 31	oveq12i 7162	. . . . . . 7 ⊢ (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((5 · 8) + (8 + 1))
33		5cn 11719	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
34	33, 2	mulcli 10642	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 8) ∈ ℂ
35	34, 2, 8	addassi 10645	. . . . . . 7 ⊢ (((5 · 8) + 8) + 1) = ((5 · 8) + (8 + 1))
36		df-6 11698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 = (5 + 1)
37	36	oveq1i 7160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 8) = ((5 + 1) · 8)
38	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
39		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
40	38, 39	adddirp1d 10661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 ∈ ℂ → ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8))
41	2, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8)
42	37, 41	eqtri 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 · 8) = ((5 · 8) + 8)
43	42	eqcomi 2830	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 8) + 8) = (6 · 8)
44	43	oveq1i 7160	. . . . . . 7 ⊢ (((5 · 8) + 8) + 1) = ((6 · 8) + 1)
45	32, 35, 44	3eqtr2i 2850	. . . . . 6 ⊢ (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((6 · 8) + 1)
46	14, 45	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ ((4 + 3)↑2) = ((6 · 8) + 1)
47	11, 46	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ (7↑2) = ((6 · 8) + 1)
48	7, 8, 47	mvrraddi 10897	. . 3 ⊢ ((7↑2) − 1) = (6 · 8)
49	48	oveq1i 7160	. 2 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = ((6 · 8) / 8)
50		3t2e6 11797	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
51	13, 16, 50	mulcomli 10644	. 2 ⊢ (2 · 3) = 6
52	6, 49, 51	3eqtr4i 2854	1 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   − cmin 10864   / cdiv 11291  2c2 11686  3c3 11687  4c4 11688  5c5 11689  6c6 11690  7c7 11691  8c8 11692  9c9 11693  ↑cexp 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-seq 13364  df-exp 13424

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  25984