Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnm2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnm2N 35172
Description: The meet of two different lattice lines in a lattice plane is an atom. (Contributed by NM, 5-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnm2.l = (le‘𝐾)
2llnm2.m = (meet‘𝐾)
2llnm2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnm2.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2llnm2.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnm2N ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2llnm2N
StepHypRef Expression
1 simp22 1115 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝑌𝑁)
2 simp1 1081 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
3 hllat 34968 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
433ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp21 1114 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝑋𝑁)
6 eqid 2651 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 2llnm2.n . . . . . 6 𝑁 = (LLines‘𝐾)
86, 7llnbase 35113 . . . . 5 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
95, 8syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
106, 7llnbase 35113 . . . . 5 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
111, 10syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
12 2llnm2.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
136, 12latmcl 17099 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
144, 9, 11, 13syl3anc 1366 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
15 2llnm2.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
16 eqid 2651 . . . . . . 7 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
17 2llnm2.p . . . . . . 7 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
1815, 16, 7, 172llnjN 35171 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) = 𝑊)
19 simp23 1116 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝑊𝑃)
2018, 19eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝑃)
216, 15, 16latlej1 17107 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
224, 9, 11, 21syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝑋 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
23 eqid 2651 . . . . . 6 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
2415, 23, 7, 17llncvrlpln2 35161 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁 ∧ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋(join‘𝐾)𝑌))
252, 5, 20, 22, 24syl31anc 1369 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋(join‘𝐾)𝑌))
266, 16, 12, 23cvrexch 35024 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
272, 9, 11, 26syl3anc 1366 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → ((𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
2825, 27mpbird 247 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
29 2llnm2.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
306, 23, 29, 7atcvrlln 35124 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑌𝑁))
312, 14, 11, 28, 30syl31anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑌𝑁))
321, 31mpbird 247 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑊𝑃) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑋𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  joincjn 16991  meetcmee 16992  Latclat 17092  ccvr 34867  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LLinesclln 35095  LPlanesclpl 35096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103
This theorem is referenced by:  2llnm3N  35173
  Copyright terms: Public domain W3C validator