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Theorem 2llnma3r 36804
Description: Two different intersecting lines (expressed in terms of atoms) meet at their common point (atom). (Contributed by NM, 30-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnm.l = (le‘𝐾)
2llnm.j = (join‘𝐾)
2llnm.m = (meet‘𝐾)
2llnm.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnma3r ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑅)) = 𝑅)

Proof of Theorem 2llnma3r
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp21 1198 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑃𝐴)
3 simp23 1200 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑅𝐴)
4 2llnm.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
5 2llnm.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5hlatjcom 36384 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → (𝑃 𝑅) = (𝑅 𝑃))
71, 2, 3, 6syl3anc 1363 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑃 𝑅) = (𝑅 𝑃))
8 simp22 1199 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑄𝐴)
94, 5hlatjcom 36384 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
101, 8, 3, 9syl3anc 1363 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
117, 10oveq12d 7163 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑅)) = ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)))
12 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑄 = 𝑅)
1312oveq2d 7161 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑅 𝑄) = (𝑅 𝑅))
14 simpl1 1183 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝐾 ∈ HL)
15 simpl23 1245 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑅𝐴)
164, 5hlatjidm 36385 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
1714, 15, 16syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
1813, 17eqtrd 2853 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑅 𝑄) = 𝑅)
1918oveq2d 7161 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) = ((𝑅 𝑃) 𝑅))
20 2llnm.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
2120, 4, 5hlatlej1 36391 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑃𝐴) → 𝑅 (𝑅 𝑃))
221, 3, 2, 21syl3anc 1363 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑅 (𝑅 𝑃))
23 hllat 36379 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
24233ad2ant1 1125 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝐾 ∈ Lat)
25 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2625, 5atbase 36305 . . . . . . . 8 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
273, 26syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
2825, 4, 5hlatjcl 36383 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑃𝐴) → (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
291, 3, 2, 28syl3anc 1363 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
30 2llnm.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
3125, 20, 30latleeqm2 17678 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 (𝑅 𝑃) ↔ ((𝑅 𝑃) 𝑅) = 𝑅))
3224, 27, 29, 31syl3anc 1363 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑅 (𝑅 𝑃) ↔ ((𝑅 𝑃) 𝑅) = 𝑅))
3322, 32mpbid 233 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑅 𝑃) 𝑅) = 𝑅)
3433adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑅 𝑃) 𝑅) = 𝑅)
3519, 34eqtrd 2853 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) = 𝑅)
36 simpl1 1183 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → 𝐾 ∈ HL)
37 simpl21 1243 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → 𝑃𝐴)
38 simpl23 1245 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → 𝑅𝐴)
39 simpl22 1244 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → 𝑄𝐴)
40 simpl3 1185 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅))
4120, 4, 5hlatlej2 36392 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → 𝑅 (𝑃 𝑅))
421, 2, 3, 41syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑅 (𝑃 𝑅))
4325, 5atbase 36305 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
448, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
4525, 4, 5hlatjcl 36383 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
461, 2, 3, 45syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
4725, 20, 4latjle12 17660 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑅)) ↔ (𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅)))
4824, 44, 27, 46, 47syl13anc 1364 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑅)) ↔ (𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅)))
4948biimpd 230 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 (𝑃 𝑅) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑅)) → (𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅)))
5042, 49mpan2d 690 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → (𝑄 (𝑃 𝑅) → (𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅)))
5150adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑄 (𝑃 𝑅) → (𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅)))
52 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → 𝑄𝑅)
5320, 4, 5ps-1 36493 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅) ↔ (𝑄 𝑅) = (𝑃 𝑅)))
5436, 39, 38, 52, 37, 38, 53syl132anc 1380 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ((𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅) ↔ (𝑄 𝑅) = (𝑃 𝑅)))
5554biimpd 230 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ((𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅) → (𝑄 𝑅) = (𝑃 𝑅)))
56 eqcom 2825 . . . . . . . 8 ((𝑄 𝑅) = (𝑃 𝑅) ↔ (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅))
5755, 56syl6ib 252 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ((𝑄 𝑅) (𝑃 𝑅) → (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅)))
5851, 57syld 47 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑄 (𝑃 𝑅) → (𝑃 𝑅) = (𝑄 𝑅)))
5958necon3ad 3026 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ((𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅) → ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅)))
6040, 59mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅))
6120, 4, 30, 52llnma1 36803 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅)) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) = 𝑅)
6236, 37, 38, 39, 60, 61syl131anc 1375 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑄𝑅) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) = 𝑅)
6335, 62pm2.61dane 3101 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑅 𝑃) (𝑅 𝑄)) = 𝑅)
6411, 63eqtrd 2853 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃 𝑅) ≠ (𝑄 𝑅)) → ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑅)) = 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lecple 16560  joincjn 17542  meetcmee 17543  Latclat 17643  Atomscatm 36279  HLchlt 36366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367
This theorem is referenced by:  cdlemg9a  37648  cdlemg12a  37659
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