Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnmat 35313
Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmat.m = (meet‘𝐾)
2llnmat.z 0 = (0.‘𝐾)
2llnmat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnmat.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnmat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2llnmat
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1228 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ HL)
2 hlatl 35150 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ AtLat)
4 hllat 35153 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
51, 4syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simpl2 1230 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑋𝑁)
7 eqid 2760 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 2llnmat.n . . . . . . 7 𝑁 = (LLines‘𝐾)
97, 8llnbase 35298 . . . . . 6 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
106, 9syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
11 simpl3 1232 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑌𝑁)
127, 8llnbase 35298 . . . . . 6 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
14 2llnmat.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
157, 14latmcl 17253 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
165, 10, 13, 15syl3anc 1477 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
17 simprr 813 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )
18 eqid 2760 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
19 2llnmat.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
20 2llnmat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
217, 18, 19, 20atlex 35106 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) → ∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
223, 16, 17, 21syl3anc 1477 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → ∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
23 simp1rl 1305 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋𝑌)
24 simp1l 1240 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁))
2518, 8llncmp 35311 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑋 = 𝑌))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑋 = 𝑌))
27 simp1l1 1351 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
2827, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
29 simp1l2 1352 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋𝑁)
3029, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
31 simp1l3 1353 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑌𝑁)
3231, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
337, 18, 14latleeqm1 17280 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
3428, 30, 32, 33syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
3526, 34bitr3d 270 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
3635necon3bid 2976 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) ≠ 𝑋))
3723, 36mpbid 222 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ≠ 𝑋)
38 simp3 1133 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
397, 18, 14latmle1 17277 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
4028, 30, 32, 39syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
41 hlpos 35155 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
4227, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ Poset)
437, 20atbase 35079 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
44433ad2ant2 1129 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
4528, 30, 32, 15syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
46 simp2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝𝐴)
477, 18, 28, 44, 45, 30, 38, 40lattrd 17259 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)𝑋)
48 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
4918, 48, 20, 8atcvrlln2 35308 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) → 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
5027, 46, 29, 47, 49syl31anc 1480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
517, 18, 48cvrnbtwn4 35069 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ((𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 𝑌) ∨ (𝑋 𝑌) = 𝑋)))
5242, 44, 30, 45, 50, 51syl131anc 1490 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → ((𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 𝑌) ∨ (𝑋 𝑌) = 𝑋)))
5338, 40, 52mpbi2and 994 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑝 = (𝑋 𝑌) ∨ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
54 neor 3023 . . . . . . . 8 ((𝑝 = (𝑋 𝑌) ∨ (𝑋 𝑌) = 𝑋) ↔ (𝑝 ≠ (𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑌) = 𝑋))
5553, 54sylib 208 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑝 ≠ (𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑌) = 𝑋))
5655necon1d 2954 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → ((𝑋 𝑌) ≠ 𝑋𝑝 = (𝑋 𝑌)))
5737, 56mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝 = (𝑋 𝑌))
58573exp 1113 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑝𝐴 → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) → 𝑝 = (𝑋 𝑌))))
5958reximdvai 3153 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) → ∃𝑝𝐴 𝑝 = (𝑋 𝑌)))
6022, 59mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → ∃𝑝𝐴 𝑝 = (𝑋 𝑌))
61 risset 3200 . 2 ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑝𝐴 𝑝 = (𝑋 𝑌))
6260, 61sylibr 224 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  lecple 16150  Posetcpo 17141  meetcmee 17146  0.cp0 17238  Latclat 17246  ccvr 35052  Atomscatm 35053  AtLatcal 35054  HLchlt 35140  LLinesclln 35280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-lat 17247  df-clat 17309  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141  df-llines 35287
This theorem is referenced by:  2at0mat0  35314  ps-2c  35317  2llnmeqat  35360  dalemcea  35449  dalem2  35450  dalem21  35483  dalem54  35515  cdlemc5  35985
  Copyright terms: Public domain W3C validator