Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnmat 34287
Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmat.m = (meet‘𝐾)
2llnmat.z 0 = (0.‘𝐾)
2llnmat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnmat.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnmat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2llnmat
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1062 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ HL)
2 hlatl 34124 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ AtLat)
4 hllat 34127 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
51, 4syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simpl2 1063 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑋𝑁)
7 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 2llnmat.n . . . . . . 7 𝑁 = (LLines‘𝐾)
97, 8llnbase 34272 . . . . . 6 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
106, 9syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
11 simpl3 1064 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑌𝑁)
127, 8llnbase 34272 . . . . . 6 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
14 2llnmat.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
157, 14latmcl 16973 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
165, 10, 13, 15syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
17 simprr 795 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )
18 eqid 2621 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
19 2llnmat.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
20 2llnmat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
217, 18, 19, 20atlex 34080 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) → ∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
223, 16, 17, 21syl3anc 1323 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → ∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
23 simp1rl 1124 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋𝑌)
24 simp1l 1083 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁))
2518, 8llncmp 34285 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑋 = 𝑌))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑋 = 𝑌))
27 simp1l1 1152 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
2827, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
29 simp1l2 1153 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋𝑁)
3029, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
31 simp1l3 1154 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑌𝑁)
3231, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
337, 18, 14latleeqm1 17000 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
3428, 30, 32, 33syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
3526, 34bitr3d 270 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
3635necon3bid 2834 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) ≠ 𝑋))
3723, 36mpbid 222 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ≠ 𝑋)
38 simp3 1061 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
397, 18, 14latmle1 16997 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
4028, 30, 32, 39syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
41 hlpos 34129 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
4227, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ Poset)
437, 20atbase 34053 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
44433ad2ant2 1081 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
4528, 30, 32, 15syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
46 simp2 1060 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝𝐴)
477, 18, 28, 44, 45, 30, 38, 40lattrd 16979 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)𝑋)
48 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
4918, 48, 20, 8atcvrlln2 34282 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) → 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
5027, 46, 29, 47, 49syl31anc 1326 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
517, 18, 48cvrnbtwn4 34043 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ((𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 𝑌) ∨ (𝑋 𝑌) = 𝑋)))
5242, 44, 30, 45, 50, 51syl131anc 1336 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → ((𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 𝑌) ∨ (𝑋 𝑌) = 𝑋)))
5338, 40, 52mpbi2and 955 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑝 = (𝑋 𝑌) ∨ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
54 neor 2881 . . . . . . . 8 ((𝑝 = (𝑋 𝑌) ∨ (𝑋 𝑌) = 𝑋) ↔ (𝑝 ≠ (𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑌) = 𝑋))
5553, 54sylib 208 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑝 ≠ (𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑌) = 𝑋))
5655necon1d 2812 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → ((𝑋 𝑌) ≠ 𝑋𝑝 = (𝑋 𝑌)))
5737, 56mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝 = (𝑋 𝑌))
58573exp 1261 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑝𝐴 → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) → 𝑝 = (𝑋 𝑌))))
5958reximdvai 3009 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) → ∃𝑝𝐴 𝑝 = (𝑋 𝑌)))
6022, 59mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → ∃𝑝𝐴 𝑝 = (𝑋 𝑌))
61 risset 3055 . 2 ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑝𝐴 𝑝 = (𝑋 𝑌))
6260, 61sylibr 224 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  lecple 15869  Posetcpo 16861  meetcmee 16866  0.cp0 16958  Latclat 16966  ccvr 34026  Atomscatm 34027  AtLatcal 34028  HLchlt 34114  LLinesclln 34254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-lat 16967  df-clat 17029  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-covers 34030  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-llines 34261
This theorem is referenced by:  2at0mat0  34288  ps-2c  34291  2llnmeqat  34334  dalemcea  34423  dalem2  34424  dalem21  34457  dalem54  34489  cdlemc5  34959
  Copyright terms: Public domain W3C validator