Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnmeqat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnmeqat 34376
Description: An atom equals the intersection of two majorizing lines. (Contributed by NM, 3-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmeqat.l = (le‘𝐾)
2llnmeqat.m = (meet‘𝐾)
2llnmeqat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnmeqat.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnmeqat ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑃 = (𝑋 𝑌))

Proof of Theorem 2llnmeqat
StepHypRef Expression
1 simp3r 1088 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑃 (𝑋 𝑌))
2 hlatl 34166 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
323ad2ant1 1080 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝐾 ∈ AtLat)
4 simp23 1094 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑃𝐴)
5 simp1 1059 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝐾 ∈ HL)
6 simp21 1092 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑋𝑁)
7 simp22 1093 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑌𝑁)
8 simp3l 1087 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑋𝑌)
9 hllat 34169 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1093ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝐾 ∈ Lat)
11 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12 2llnmeqat.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1311, 12atbase 34095 . . . . . . . 8 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
144, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
15 2llnmeqat.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LLines‘𝐾)
1611, 15llnbase 34314 . . . . . . . 8 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
176, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
1811, 15llnbase 34314 . . . . . . . 8 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
197, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
20 2llnmeqat.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
21 2llnmeqat.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
2211, 20, 21latlem12 17018 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑋𝑃 𝑌) ↔ 𝑃 (𝑋 𝑌)))
2310, 14, 17, 19, 22syl13anc 1325 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → ((𝑃 𝑋𝑃 𝑌) ↔ 𝑃 (𝑋 𝑌)))
241, 23mpbird 247 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → (𝑃 𝑋𝑃 𝑌))
25 eqid 2621 . . . . . 6 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2620, 21, 25, 12, 152llnm4 34375 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑃 𝑋𝑃 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ≠ (0.‘𝐾))
275, 4, 6, 7, 24, 26syl131anc 1336 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → (𝑋 𝑌) ≠ (0.‘𝐾))
2821, 25, 12, 152llnmat 34329 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ (0.‘𝐾))) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
295, 6, 7, 8, 27, 28syl32anc 1331 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
3020, 12atcmp 34117 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝑋 𝑌) ↔ 𝑃 = (𝑋 𝑌)))
313, 4, 29, 30syl3anc 1323 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → (𝑃 (𝑋 𝑌) ↔ 𝑃 = (𝑋 𝑌)))
321, 31mpbid 222 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑃 (𝑋 𝑌))) → 𝑃 = (𝑋 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  lecple 15888  meetcmee 16885  0.cp0 16977  Latclat 16985  Atomscatm 34069  AtLatcal 34070  HLchlt 34156  LLinesclln 34296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-preset 16868  df-poset 16886  df-plt 16898  df-lub 16914  df-glb 16915  df-join 16916  df-meet 16917  df-p0 16979  df-lat 16986  df-clat 17048  df-oposet 33982  df-ol 33984  df-oml 33985  df-covers 34072  df-ats 34073  df-atl 34104  df-cvlat 34128  df-hlat 34157  df-llines 34303
This theorem is referenced by:  cdlemeg46req  35336
  Copyright terms: Public domain W3C validator