Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnmj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnmj 36576
Description: The meet of two lattice lines is an atom iff their join is a lattice plane. (Contributed by NM, 27-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmj.j = (join‘𝐾)
2llnmj.m = (meet‘𝐾)
2llnmj.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnmj.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2llnmj.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnmj ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃))

Proof of Theorem 2llnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
2 eqid 2818 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 2llnmj.n . . . . 5 𝑁 = (LLines‘𝐾)
42, 3llnbase 36525 . . . 4 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
543ad2ant2 1126 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
62, 3llnbase 36525 . . . 4 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
763ad2ant3 1127 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
8 2llnmj.j . . . 4 = (join‘𝐾)
9 2llnmj.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
10 eqid 2818 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
112, 8, 9, 10cvrexch 36436 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
121, 5, 7, 11syl3anc 1363 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ((𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
13 simpl1 1183 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
14 simpr 485 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
15 simpl3 1185 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌𝑁)
16 hllat 36379 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
17 eqid 2818 . . . . . . 7 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
182, 17, 9latmle2 17675 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
1916, 4, 6, 18syl3an 1152 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
2019adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
21 2llnmj.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2217, 10, 21, 3atcvrlln2 36535 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌) → (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1365 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
24 simpl3 1185 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → 𝑌𝑁)
252, 9latmcl 17650 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
2616, 4, 6, 25syl3an 1152 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
271, 26, 73jca 1120 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)))
282, 10, 21, 3atcvrlln 36536 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑌𝑁))
2927, 28sylan 580 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑌𝑁))
3024, 29mpbird 258 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
3123, 30impbida 797 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌))
32 simpl1 1183 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
33 simpl2 1184 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝑋𝑁)
34 simpr 485 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃)
352, 17, 8latlej1 17658 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
3616, 4, 6, 35syl3an 1152 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
3736adantr 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
38 2llnmj.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
3917, 10, 3, 38llncvrlpln2 36573 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) ∧ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌))
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1365 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌))
41 simpl2 1184 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋𝑁)
422, 8latjcl 17649 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
4316, 4, 6, 42syl3an 1152 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
441, 5, 433jca 1120 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)))
452, 10, 3, 38llncvrlpln 36574 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃))
4644, 45sylan 580 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃))
4741, 46mpbid 233 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃)
4840, 47impbida 797 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑃𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
4912, 31, 483bitr4d 312 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lecple 16560  joincjn 17542  meetcmee 17543  Latclat 17643  ccvr 36278  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  LLinesclln 36507  LPlanesclpl 36508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515
This theorem is referenced by:  2atmat  36577  dalem2  36677  dalemdea  36678  dalem22  36711  dalem23  36712  arglem1N  37206  cdleme16d  37297  cdleme20l2  37337
  Copyright terms: Public domain W3C validator