Theorem 2llnne2N 36548

Description: Condition implying that two intersecting lines are different. (Contributed by NM, 13-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lnne.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2lnne.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2lnne.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2llnne2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄)) → (𝑅 ∨ 𝑃) ≠ (𝑅 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem 2llnne2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
3		simprl 769	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		2lnne.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		2lnne.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6		2lnne.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	4, 5, 6	hlatlej2 36516	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃))
9		breq2 5073	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∨ 𝑃) = (𝑅 ∨ 𝑄) → (𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃) ↔ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄)))
10	8, 9	syl5ibcom 247	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑅 ∨ 𝑃) = (𝑅 ∨ 𝑄) → 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄)))
11	10	necon3bd 3033	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄) → (𝑅 ∨ 𝑃) ≠ (𝑅 ∨ 𝑄)))
12	11	3impia 1113	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑃 ≤ (𝑅 ∨ 𝑄)) → (𝑅 ∨ 𝑃) ≠ (𝑅 ∨ 𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019   class class class wbr 5069  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  lecple 16575  joincjn 17557  Atomscatm 36403  HLchlt 36490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-lub 17587  df-join 17589  df-lat 17659  df-ats 36407  df-atl 36438  df-cvlat 36462  df-hlat 36491

This theorem is referenced by:  2llnneN  36549