Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2lplnmN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lplnmN 34322
 Description: If the join of two lattice planes covers one of them, their meet is a lattice line. (Contributed by NM, 30-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2lplnm.j = (join‘𝐾)
2lplnm.m = (meet‘𝐾)
2lplnm.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
2lplnm.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2lplnm.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2lplnmN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁)

Proof of Theorem 2lplnmN
StepHypRef Expression
1 simpl3 1064 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑌)) → 𝑌𝑃)
2 simpl1 1062 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
3 hllat 34127 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
4 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 2lplnm.p . . . . . 6 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
64, 5lplnbase 34297 . . . . 5 (𝑋𝑃𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
74, 5lplnbase 34297 . . . . 5 (𝑌𝑃𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
8 2lplnm.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
94, 8latmcl 16973 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
103, 6, 7, 9syl3an 1365 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
1110adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
1273ad2ant3 1082 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
1312adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
14 simp1 1059 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
1563ad2ant2 1081 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
16 2lplnm.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
17 2lplnm.c . . . . . 6 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
184, 16, 8, 17cvrexch 34183 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌𝑋𝐶(𝑋 𝑌)))
1914, 15, 12, 18syl3anc 1323 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌𝑋𝐶(𝑋 𝑌)))
2019biimpar 502 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌)𝐶𝑌)
21 2lplnm.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
224, 17, 21, 5llncvrlpln 34321 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 𝑌)𝐶𝑌) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑁𝑌𝑃))
232, 11, 13, 20, 22syl31anc 1326 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑌)) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝑁𝑌𝑃))
241, 23mpbird 247 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  joincjn 16865  meetcmee 16866  Latclat 16966   ⋖ ccvr 34026  HLchlt 34114  LLinesclln 34254  LPlanesclpl 34255 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-lat 16967  df-clat 17029  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-covers 34030  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-llines 34261  df-lplanes 34262 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator