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Theorem 2ndcdisj 21178
 Description: Any disjoint family of open sets in a second-countable space is countable. (The sets are required to be nonempty because otherwise there could be many empty sets in the family.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2ndcdisj ((𝐽 ∈ 2nd𝜔 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐽
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem 2ndcdisj
Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑤 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 21168 . . 3 (𝐽 ∈ 2nd𝜔 ↔ ∃𝑏 ∈ TopBases (𝑏 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑏) = 𝐽))
2 omex 8491 . . . . . . 7 ω ∈ V
32brdom 7918 . . . . . 6 (𝑏 ≼ ω ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑏1-1→ω)
4 ssrab2 3671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ⊆ ran 𝑓
5 f1f 6063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓:𝑏1-1→ω → 𝑓:𝑏⟶ω)
6 frn 6015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓:𝑏⟶ω → ran 𝑓 ⊆ ω)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓:𝑏1-1→ω → ran 𝑓 ⊆ ω)
87adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) → ran 𝑓 ⊆ ω)
94, 8syl5ss 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ⊆ ω)
109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ⊆ ω)
11 eldifsn 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ∈ (topGen‘𝑏) ∧ 𝐵 ≠ ∅))
12 n0 3912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐵)
13 tg2 20689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵 ∈ (topGen‘𝑏) ∧ 𝑦𝐵) → ∃𝑧𝑏 (𝑦𝑧𝑧𝐵))
14 omsson 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ω ⊆ On
159, 14syl6ss 3599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ⊆ On)
1615ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ⊆ On)
17 f1fn 6064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑓:𝑏1-1→ω → 𝑓 Fn 𝑏)
1817ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → 𝑓 Fn 𝑏)
19 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → 𝑧𝑏)
20 fnfvelrn 6317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑓 Fn 𝑏𝑧𝑏) → (𝑓𝑧) ∈ ran 𝑓)
2118, 19, 20syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → (𝑓𝑧) ∈ ran 𝑓)
22 f1f1orn 6110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑓:𝑏1-1→ω → 𝑓:𝑏1-1-onto→ran 𝑓)
2322ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → 𝑓:𝑏1-1-onto→ran 𝑓)
24 f1ocnvfv1 6492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑓:𝑏1-1-onto→ran 𝑓𝑧𝑏) → (𝑓‘(𝑓𝑧)) = 𝑧)
2523, 19, 24syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → (𝑓‘(𝑓𝑧)) = 𝑧)
26 simprrr 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → 𝑧𝐵)
27 selpw 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵𝑧𝐵)
2826, 27sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵)
29 simprrl 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → 𝑦𝑧)
30 ne0i 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑦𝑧𝑧 ≠ ∅)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → 𝑧 ≠ ∅)
32 eldifsn 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅}) ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵𝑧 ≠ ∅))
3328, 31, 32sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅}))
3425, 33eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → (𝑓‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅}))
35 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = (𝑓𝑧) → (𝑓𝑛) = (𝑓‘(𝑓𝑧)))
3635eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = (𝑓𝑧) → ((𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅}) ↔ (𝑓‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})))
3736rspcev 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑓𝑧) ∈ ran 𝑓 ∧ (𝑓‘(𝑓𝑧)) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})) → ∃𝑛 ∈ ran 𝑓(𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅}))
3821, 34, 37syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → ∃𝑛 ∈ ran 𝑓(𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅}))
39 rabn0 3937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ({𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ran 𝑓(𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅}))
4038, 39sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ≠ ∅)
41 onint 6949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (({𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ⊆ On ∧ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ≠ ∅) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})
4216, 40, 41syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝑧𝑏 ∧ (𝑦𝑧𝑧𝐵))) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})
4342rexlimdvaa 3026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧𝑏 (𝑦𝑧𝑧𝐵) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
4413, 43syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵 ∈ (topGen‘𝑏) ∧ 𝑦𝐵) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
4544expdimp 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐵 ∈ (topGen‘𝑏)) → (𝑦𝐵 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
4645exlimdv 1858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐵 ∈ (topGen‘𝑏)) → (∃𝑦 𝑦𝐵 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
4712, 46syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐵 ∈ (topGen‘𝑏)) → (𝐵 ≠ ∅ → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
4847expimpd 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵 ∈ (topGen‘𝑏) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
4911, 48syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
5049impr 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})
5110, 50sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ ω)
5251expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) → {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ ω))
5352ralimdva 2957 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) → (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) → ∀𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ ω))
5453imp 445 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅})) → ∀𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ ω)
5554adantrr 752 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵)) → ∀𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ ω)
56 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) = (𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})
5756fmpt 6342 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ ω ↔ (𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}):𝐴⟶ω)
5855, 57sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵)) → (𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}):𝐴⟶ω)
59 neeq1 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓𝑧) = if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜) → ((𝑓𝑧) ≠ ∅ ↔ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜) ≠ ∅))
60 neeq1 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1𝑜 = if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜) → (1𝑜 ≠ ∅ ↔ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜) ≠ ∅))
61 1n0 7527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1𝑜 ≠ ∅
6259, 60, 61elimhyp 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜) ≠ ∅
63 n0 3912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜))
6462, 63mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜)
65 19.29r 1799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∃𝑦 𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → ∃𝑦(𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵))
6664, 65mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ∃𝑦(𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵))
67 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ↔ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
6850, 67syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) → (𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → 𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
6968imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) ∧ 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) → 𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})
70 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑛 = 𝑧 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑧))
7170eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑛 = 𝑧 → ((𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅}) ↔ (𝑓𝑧) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})))
7271elrab 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ↔ (𝑧 ∈ ran 𝑓 ∧ (𝑓𝑧) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})))
7372simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → (𝑓𝑧) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅}))
7469, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) ∧ 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) → (𝑓𝑧) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅}))
75 eldifsn 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑓𝑧) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅}) ↔ ((𝑓𝑧) ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑓𝑧) ≠ ∅))
7674, 75sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) ∧ 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) → ((𝑓𝑧) ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑓𝑧) ≠ ∅))
7776simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) ∧ 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) → (𝑓𝑧) ≠ ∅)
7877iftrued 4071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) ∧ 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) → if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜) = (𝑓𝑧))
7976simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) ∧ 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) → (𝑓𝑧) ∈ 𝒫 𝐵)
8079elpwid 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) ∧ 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) → (𝑓𝑧) ⊆ 𝐵)
8178, 80eqsstrd 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) ∧ 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) → if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜) ⊆ 𝐵)
8281sseld 3586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}))) ∧ 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) → (𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜) → 𝑦𝐵))
8382exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) → ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅})) → (𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → (𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜) → 𝑦𝐵))))
8483com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) → (𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅})) → (𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜) → 𝑦𝐵))))
8584exp4a 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) → (𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → (𝑥𝐴 → (𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) → (𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜) → 𝑦𝐵)))))
8685com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) → (𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜) → (𝑥𝐴 → (𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) → (𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → 𝑦𝐵)))))
8786imp31 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) → (𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → 𝑦𝐵)))
8887ralimdva 2957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜)) → (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) → ∀𝑥𝐴 (𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → 𝑦𝐵)))
8988imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ 𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜)) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅})) → ∀𝑥𝐴 (𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → 𝑦𝐵))
9089an32s 845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅})) ∧ 𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜)) → ∀𝑥𝐴 (𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → 𝑦𝐵))
91 rmoim 3393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥𝐴 (𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} → 𝑦𝐵) → (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ∃*𝑥𝐴 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅})) ∧ 𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜)) → (∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ∃*𝑥𝐴 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
9392expimpd 628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅})) → ((𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → ∃*𝑥𝐴 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
9493exlimdv 1858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅})) → (∃𝑦(𝑦 ∈ if((𝑓𝑧) ≠ ∅, (𝑓𝑧), 1𝑜) ∧ ∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → ∃*𝑥𝐴 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
9566, 94syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅})) → (∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ∃*𝑥𝐴 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
9695impr 648 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵)) → ∃*𝑥𝐴 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})
97 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑤
98 nfmpt1 4712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})
99 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑧
10097, 98, 99nfbr 4664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑤(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})𝑧
101 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑤(𝑥𝐴𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})
102 breq1 4621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})𝑧𝑥(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})𝑧))
103 df-br 4619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
104 df-mpt 4680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) = {⟨𝑥, 𝑧⟩ ∣ (𝑥𝐴𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})}
105104eleq2i 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ (𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}) ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑧⟩ ∣ (𝑥𝐴𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})})
106 opabid 4947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑧⟩ ∣ (𝑥𝐴𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})} ↔ (𝑥𝐴𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
107103, 105, 1063bitri 286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})𝑧 ↔ (𝑥𝐴𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
108102, 107syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})𝑧 ↔ (𝑥𝐴𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})))
109100, 101, 108cbvmo 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃*𝑤 𝑤(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})𝑧 ↔ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
110 df-rmo 2915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃*𝑥𝐴 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})} ↔ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}))
111109, 110bitr4i 267 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃*𝑤 𝑤(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})𝑧 ↔ ∃*𝑥𝐴 𝑧 = {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})
11296, 111sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵)) → ∃*𝑤 𝑤(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})𝑧)
113112alrimiv 1852 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵)) → ∀𝑧∃*𝑤 𝑤(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})𝑧)
114 dff12 6062 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}):𝐴1-1→ω ↔ ((𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}):𝐴⟶ω ∧ ∀𝑧∃*𝑤 𝑤(𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})})𝑧))
11558, 113, 114sylanbrc 697 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵)) → (𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}):𝐴1-1→ω)
116 f1domg 7926 . . . . . . . . . . 11 (ω ∈ V → ((𝑥𝐴 {𝑛 ∈ ran 𝑓 ∣ (𝑓𝑛) ∈ (𝒫 𝐵 ∖ {∅})}):𝐴1-1→ω → 𝐴 ≼ ω))
1172, 115, 116mpsyl 68 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) ∧ (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵)) → 𝐴 ≼ ω)
118117ex 450 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) → ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω))
119 difeq1 3704 . . . . . . . . . . . . 13 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) = (𝐽 ∖ {∅}))
120119eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . 12 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → (𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ↔ 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅})))
121120ralbidv 2981 . . . . . . . . . . 11 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅})))
122121anbi1d 740 . . . . . . . . . 10 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) ↔ (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵)))
123122imbi1d 331 . . . . . . . . 9 ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → (((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ((topGen‘𝑏) ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω) ↔ ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω)))
124118, 123syl5ibcom 235 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ TopBases ∧ 𝑓:𝑏1-1→ω) → ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω)))
125124ex 450 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ TopBases → (𝑓:𝑏1-1→ω → ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω))))
126125exlimdv 1858 . . . . . 6 (𝑏 ∈ TopBases → (∃𝑓 𝑓:𝑏1-1→ω → ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω))))
1273, 126syl5bi 232 . . . . 5 (𝑏 ∈ TopBases → (𝑏 ≼ ω → ((topGen‘𝑏) = 𝐽 → ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω))))
128127impd 447 . . . 4 (𝑏 ∈ TopBases → ((𝑏 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑏) = 𝐽) → ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω)))
129128rexlimiv 3021 . . 3 (∃𝑏 ∈ TopBases (𝑏 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑏) = 𝐽) → ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω))
1301, 129sylbi 207 . 2 (𝐽 ∈ 2nd𝜔 → ((∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω))
1311303impib 1259 1 ((𝐽 ∈ 2nd𝜔 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥𝐴 𝑦𝐵) → 𝐴 ≼ ω)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036  ∀wal 1478   = wceq 1480  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987  ∃*wmo 2470   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  ∃*wrmo 2910  {crab 2911  Vcvv 3189   ∖ cdif 3556   ⊆ wss 3559  ∅c0 3896  ifcif 4063  𝒫 cpw 4135  {csn 4153  ⟨cop 4159  ∩ cint 4445   class class class wbr 4618  {copab 4677   ↦ cmpt 4678  ◡ccnv 5078  ran crn 5080  Oncon0 5687   Fn wfn 5847  ⟶wf 5848  –1-1→wf1 5849  –1-1-onto→wf1o 5851  ‘cfv 5852  ωcom 7019  1𝑜c1o 7505   ≼ cdom 7904  topGenctg 16026  TopBasesctb 20669  2nd𝜔c2ndc 21160 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-om 7020  df-1o 7512  df-dom 7908  df-topgen 16032  df-2ndc 21162 This theorem is referenced by:  2ndcdisj2  21179
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