Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2nodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2nodd 41601
Description: 2 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
oddinmgm.e 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
Assertion
Ref Expression
2nodd 2 ∉ 𝑂
Distinct variable group:   𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2nodd
StepHypRef Expression
1 halfnz 11284 . . . . . . . . 9 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2 eleq1 2672 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) = 𝑥 → ((1 / 2) ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
31, 2mtbii 314 . . . . . . . 8 ((1 / 2) = 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ ℤ)
43con2i 132 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (1 / 2) = 𝑥)
5 1cnd 9909 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
6 zcn 11212 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
7 2cnd 10937 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
8 2ne0 10957 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
98a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
105, 6, 7, 9divmul2d 10680 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) = 𝑥 ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
114, 10mtbid 312 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 1 = (2 · 𝑥))
12 eqcom 2613 . . . . . . . 8 (2 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 2)
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → (2 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 2))
147, 6mulcld 9913 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
15 subadd2 10133 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → ((2 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 2))
1615bicomd 211 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 2 ↔ (2 − 1) = (2 · 𝑥)))
177, 5, 14, 16syl3anc 1317 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 2 ↔ (2 − 1) = (2 · 𝑥)))
18 2m1e1 10979 . . . . . . . . 9 (2 − 1) = 1
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → (2 − 1) = 1)
2019eqeq1d 2608 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
2113, 17, 203bitrd 292 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → (2 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
2211, 21mtbird 313 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 2 = ((2 · 𝑥) + 1))
2322nrex 2979 . . . 4 ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)
2423intnan 950 . . 3 ¬ (2 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1))
25 eqeq1 2610 . . . . 5 (𝑧 = 2 → (𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)))
2625rexbidv 3030 . . . 4 (𝑧 = 2 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)))
27 oddinmgm.e . . . 4 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
2826, 27elrab2 3329 . . 3 (2 ∈ 𝑂 ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)))
2924, 28mtbir 311 . 2 ¬ 2 ∈ 𝑂
3029nelir 2882 1 2 ∉ 𝑂
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776  wnel 2777  wrex 2893  {crab 2896  (class class class)co 6524  cc 9787  0cc0 9789  1c1 9790   + caddc 9792   · cmul 9794  cmin 10114   / cdiv 10530  2c2 10914  cz 11207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-n0 11137  df-z 11208
This theorem is referenced by:  oddinmgm  41604
  Copyright terms: Public domain W3C validator