Theorem 2onn 8268

Description: The ordinal 2 is a natural number. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8105	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1onn 8267	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
3		peano2 7604	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → suc 1o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2911	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  suc csuc 6195  ωcom 7582  1_oc1o 8097  2_oc2o 8098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-tr 5175  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-om 7583  df-1o 8104  df-2o 8105

This theorem is referenced by:  3onn  8269  nn2m  8279  nnneo  8280  nneob  8281  omopthlem1  8284  omopthlem2  8285  pwen  8692  en3  8757  en2eqpr  9435  en2eleq  9436  unctb  9629  infdjuabs  9630  ackbij1lem5  9648  sdom2en01  9726  fin56  9817  fin67  9819  fin1a2lem4  9827  alephexp1  10003  pwcfsdom  10007  alephom  10009  canthp1lem2  10077  pwxpndom2  10089  hash3  13770  hash2pr  13830  pr2pwpr  13840  rpnnen  15582  rexpen  15583  xpsfrnel  16837  xpscf  16840  symggen  18600  psgnunilem1  18623  simpgnsgd  19224  znfld  20709  hauspwdom  22111  xpsmet  22994  xpsxms  23146  xpsms  23147  unidifsnel  30297  unidifsnne  30298  sat1el2xp  32628  ex-sategoelelomsuc  32675  ex-sategoelel12  32676  1oequni2o  34651  finxpreclem4  34677  finxp3o  34683  wepwso  39650  frlmpwfi  39705