Theorem 2onn 7765

Description: The ordinal 2 is a natural number. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2𝑜 ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 7606	. 2 ⊢ 2𝑜 = suc 1𝑜
2		1onn 7764	. . 3 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
3		peano2 7128	. . 3 ⊢ (1𝑜 ∈ ω → suc 1𝑜 ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1𝑜 ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2726	1 ⊢ 2𝑜 ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2030  suc csuc 5763  ωcom 7107  1_𝑜c1o 7598  2_𝑜c2o 7599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-tr 4786  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-om 7108  df-1o 7605  df-2o 7606

This theorem is referenced by:  3onn  7766  nn2m  7775  nnneo  7776  nneob  7777  omopthlem1  7780  omopthlem2  7781  pwen  8174  en3  8238  en2eqpr  8868  en2eleq  8869  unctb  9065  infcdaabs  9066  ackbij1lem5  9084  sdom2en01  9162  fin56  9253  fin67  9255  fin1a2lem4  9263  alephexp1  9439  pwcfsdom  9443  alephom  9445  canthp1lem2  9513  pwxpndom2  9525  hash3  13232  hash2pr  13289  pr2pwpr  13299  rpnnen  15000  rexpen  15001  xpsfrnel  16270  symggen  17936  psgnunilem1  17959  znfld  19957  hauspwdom  21352  xpsmet  22234  xpsxms  22386  xpsms  22387  1oequni2o  33346  finxpreclem4  33361  finxp3o  33367  wepwso  37930  frlmpwfi  37985