Theorem 2oppchomf 16305

Description: The double opposite category has the same morphisms as the original category. Intended for use with property lemmas such as monpropd 16318. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppcbas.1	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
2oppchomf	⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))

Proof of Theorem 2oppchomf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2621	. . . . 5 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
2		eqid 2621	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3	1, 2	homffn 16274	. . . 4 ⊢ (Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
4		fnrel 5947	. . . 4 ⊢ ((Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → Rel (Homf ‘𝐶))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel (Homf ‘𝐶)
6		relxp 5188	. . . 4 ⊢ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
7		fndm 5948	. . . . . 6 ⊢ ((Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → dom (Homf ‘𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
8	3, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom (Homf ‘𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
9	8	releqi 5163	. . . 4 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
10	6, 9	mpbir 221	. . 3 ⊢ Rel dom (Homf ‘𝐶)
11		tpostpos2 7318	. . 3 ⊢ ((Rel (Homf ‘𝐶) ∧ Rel dom (Homf ‘𝐶)) → tpos tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶))
12	5, 10, 11	mp2an 707	. 2 ⊢ tpos tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
13		eqid 2621	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
14		oppcbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
15	14, 1	oppchomf 16301	. . 3 ⊢ tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂)
16	13, 15	oppchomf 16301	. 2 ⊢ tpos tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
17	12, 16	eqtr3i 2645	1 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))

Syntax hints:   = wceq 1480   × cxp 5072  dom cdm 5074  Rel wrel 5079   Fn wfn 5842  ‘cfv 5847  tpos ctpos 7296  Basecbs 15781  Hom_f chomf 16248  oppCatcoppc 16292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-hom 15887  df-cco 15888  df-homf 16252  df-oppc 16293

This theorem is referenced by:  2oppccomf  16306  oppcepi  16320  oppchofcl  16821  oppcyon  16830  oyoncl  16831