Theorem 2oppchomf 16581

Description: The double opposite category has the same morphisms as the original category. Intended for use with property lemmas such as monpropd 16594. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppcbas.1	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
2oppchomf	⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))

Proof of Theorem 2oppchomf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
2		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3	1, 2	homffn 16550	. . . 4 ⊢ (Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
4		fnrel 6146	. . . 4 ⊢ ((Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → Rel (Homf ‘𝐶))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Rel (Homf ‘𝐶)
6		relxp 5279	. . . 4 ⊢ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
7		fndm 6147	. . . . . 6 ⊢ ((Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → dom (Homf ‘𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
8	3, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom (Homf ‘𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
9	8	releqi 5355	. . . 4 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
10	6, 9	mpbir 221	. . 3 ⊢ Rel dom (Homf ‘𝐶)
11		tpostpos2 7538	. . 3 ⊢ ((Rel (Homf ‘𝐶) ∧ Rel dom (Homf ‘𝐶)) → tpos tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶))
12	5, 10, 11	mp2an 710	. 2 ⊢ tpos tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
13		eqid 2756	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
14		oppcbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
15	14, 1	oppchomf 16577	. . 3 ⊢ tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂)
16	13, 15	oppchomf 16577	. 2 ⊢ tpos tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
17	12, 16	eqtr3i 2780	1 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))

Syntax hints:   = wceq 1628   × cxp 5260  dom cdm 5262  Rel wrel 5267   Fn wfn 6040  ‘cfv 6045  tpos ctpos 7516  Basecbs 16055  Hom_f chomf 16524  oppCatcoppc 16568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-tpos 7517  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-hom 16164  df-cco 16165  df-homf 16528  df-oppc 16569

This theorem is referenced by:  2oppccomf  16582  oppcepi  16596  oppchofcl  17097  oppcyon  17106  oyoncl  17107