Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2polcon4bN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2polcon4bN 34018
Description: Contraposition law for polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
2polcon4bN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)) ↔ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))

Proof of Theorem 2polcon4bN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1056 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1 1053 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
3 2polss.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 2polss.p . . . . . . . . 9 = (⊥𝑃𝐾)
53, 4polssatN 34008 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → ( 𝑌) ⊆ 𝐴)
653adant2 1072 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( 𝑌) ⊆ 𝐴)
73, 4polssatN 34008 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑌) ⊆ 𝐴) → ( ‘( 𝑌)) ⊆ 𝐴)
82, 6, 7syl2anc 690 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘( 𝑌)) ⊆ 𝐴)
98adantr 479 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → ( ‘( 𝑌)) ⊆ 𝐴)
10 simpr 475 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
113, 4polcon3N 34017 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘( 𝑌)) ⊆ 𝐴 ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → ( ‘( ‘( 𝑌))) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑋))))
121, 9, 10, 11syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → ( ‘( ‘( 𝑌))) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑋))))
1312ex 448 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)) → ( ‘( ‘( 𝑌))) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑋)))))
143, 43polN 34016 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑌))) = ( 𝑌))
15143adant2 1072 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑌))) = ( 𝑌))
163, 43polN 34016 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑋))) = ( 𝑋))
17163adant3 1073 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑋))) = ( 𝑋))
1815, 17sseq12d 3596 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( ‘( 𝑌))) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑋))) ↔ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))
1913, 18sylibd 227 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)) → ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))
20 simpl1 1056 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
213, 4polssatN 34008 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
22213adant3 1073 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
2322adantr 479 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
24 simpr 475 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋))
253, 4polcon3N 34017 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
2620, 23, 24, 25syl3anc 1317 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
2726ex 448 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( 𝑌) ⊆ ( 𝑋) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))))
2819, 27impbid 200 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)) ↔ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wss 3539  cfv 5790  Atomscatm 33364  HLchlt 33451  𝑃cpolN 34002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-riotaBAD 33053
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-undef 7263  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452  df-psubsp 33603  df-pmap 33604  df-polarityN 34003
This theorem is referenced by:  paddunN  34027
  Copyright terms: Public domain W3C validator