Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2polpmapN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2polpmapN 34011
Description: Double polarity of a projective map. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polpmap.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
2polpmap.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
2polpmap.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
2polpmapN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( ‘(𝑀𝑋))) = (𝑀𝑋))

Proof of Theorem 2polpmapN
StepHypRef Expression
1 2polpmap.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2610 . . . 4 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3 2polpmap.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4 2polpmap.p . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
51, 2, 3, 4polpmapN 34010 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘(𝑀𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
65fveq2d 6092 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( ‘(𝑀𝑋))) = ( ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
7 hlop 33461 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
81, 2opoccl 33293 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
97, 8sylan 487 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
101, 2, 3, 4polpmapN 34010 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
119, 10syldan 486 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
121, 2opococ 33294 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
137, 12sylan 487 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
1413fveq2d 6092 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀𝑋))
156, 11, 143eqtrd 2648 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( ‘(𝑀𝑋))) = (𝑀𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5790  Basecbs 15644  occoc 15725  OPcops 33271  HLchlt 33449  pmapcpmap 33595  𝑃cpolN 34000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-riotaBAD 33051
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-undef 7264  df-preset 16700  df-poset 16718  df-plt 16730  df-lub 16746  df-glb 16747  df-join 16748  df-meet 16749  df-p0 16811  df-p1 16812  df-lat 16818  df-clat 16880  df-oposet 33275  df-ol 33277  df-oml 33278  df-covers 33365  df-ats 33366  df-atl 33397  df-cvlat 33421  df-hlat 33450  df-pmap 33602  df-polarityN 34001
This theorem is referenced by:  pmapsubclN  34044  ispsubcl2N  34045
  Copyright terms: Public domain W3C validator