Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2polpmapN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2polpmapN 36929
Description: Double polarity of a projective map. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polpmap.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
2polpmap.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
2polpmap.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
2polpmapN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( ‘(𝑀𝑋))) = (𝑀𝑋))

Proof of Theorem 2polpmapN
StepHypRef Expression
1 2polpmap.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2818 . . . 4 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3 2polpmap.m . . . 4 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4 2polpmap.p . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
51, 2, 3, 4polpmapN 36928 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘(𝑀𝑋)) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋)))
65fveq2d 6667 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( ‘(𝑀𝑋))) = ( ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
7 hlop 36378 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
81, 2opoccl 36210 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
97, 8sylan 580 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
101, 2, 3, 4polpmapN 36928 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) → ( ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
119, 10syldan 591 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘(𝑀‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))))
121, 2opococ 36211 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
137, 12sylan 580 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋)) = 𝑋)
1413fveq2d 6667 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀‘((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘𝑋))) = (𝑀𝑋))
156, 11, 143eqtrd 2857 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( ‘(𝑀𝑋))) = (𝑀𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  Basecbs 16471  occoc 16561  OPcops 36188  HLchlt 36366  pmapcpmap 36513  𝑃cpolN 36918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-undef 7928  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-pmap 36520  df-polarityN 36919
This theorem is referenced by:  pmapsubclN  36962  ispsubcl2N  36963
  Copyright terms: Public domain W3C validator