Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2polssN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2polssN 34015
Description: A set of atoms is a subset of its double polarity. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
2polssN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))

Proof of Theorem 2polssN
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlclat 33459 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
21ad3antrrr 761 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝐾 ∈ CLat)
3 simpr 475 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝑝𝑋)
4 simpllr 794 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝑋𝐴)
5 eqid 2609 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 2polss.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atssbase 33391 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
84, 7syl6ss 3579 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
9 eqid 2609 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10 eqid 2609 . . . . . 6 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
115, 9, 10lubel 16891 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑝𝑋𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋))
122, 3, 8, 11syl3anc 1317 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋))
1312ex 448 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝𝑋𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)))
1413ss2rabdv 3645 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → {𝑝𝐴𝑝𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
15 dfin5 3547 . . 3 (𝐴𝑋) = {𝑝𝐴𝑝𝑋}
16 sseqin2 3778 . . . . 5 (𝑋𝐴 ↔ (𝐴𝑋) = 𝑋)
1716biimpi 204 . . . 4 (𝑋𝐴 → (𝐴𝑋) = 𝑋)
1817adantl 480 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝐴𝑋) = 𝑋)
1915, 18syl5reqr 2658 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 = {𝑝𝐴𝑝𝑋})
20 eqid 2609 . . . 4 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
21 2polss.p . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
2210, 6, 20, 212polvalN 34014 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
23 sstr 3575 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
247, 23mpan2 702 . . . . 5 (𝑋𝐴𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
255, 10clatlubcl 16881 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
261, 24, 25syl2an 492 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
275, 9, 6, 20pmapval 33857 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
2826, 27syldan 485 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
2922, 28eqtrd 2643 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) = {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
3014, 19, 293sstr4d 3610 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  {crab 2899  cin 3538  wss 3539   class class class wbr 4577  cfv 5790  Basecbs 15641  lecple 15721  lubclub 16711  CLatccla 16876  Atomscatm 33364  HLchlt 33451  pmapcpmap 33597  𝑃cpolN 34002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-riotaBAD 33053
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-undef 7263  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452  df-pmap 33604  df-polarityN 34003
This theorem is referenced by:  polcon2N  34019  pclss2polN  34021  sspmaplubN  34025  paddunN  34027  pnonsingN  34033  osumcllem1N  34056  osumcllem11N  34066  pexmidN  34069
  Copyright terms: Public domain W3C validator