Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2polssN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2polssN 35519
 Description: A set of atoms is a subset of its double polarity. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
2polssN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))

Proof of Theorem 2polssN
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlclat 34963 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
21ad3antrrr 766 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝐾 ∈ CLat)
3 simpr 476 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝑝𝑋)
4 simpllr 815 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝑋𝐴)
5 eqid 2651 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 2polss.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atssbase 34895 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
84, 7syl6ss 3648 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
9 eqid 2651 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10 eqid 2651 . . . . . 6 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
115, 9, 10lubel 17169 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑝𝑋𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋))
122, 3, 8, 11syl3anc 1366 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝𝑋) → 𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋))
1312ex 449 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝𝑋𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)))
1413ss2rabdv 3716 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → {𝑝𝐴𝑝𝑋} ⊆ {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
15 dfin5 3615 . . 3 (𝐴𝑋) = {𝑝𝐴𝑝𝑋}
16 sseqin2 3850 . . . . 5 (𝑋𝐴 ↔ (𝐴𝑋) = 𝑋)
1716biimpi 206 . . . 4 (𝑋𝐴 → (𝐴𝑋) = 𝑋)
1817adantl 481 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝐴𝑋) = 𝑋)
1915, 18syl5reqr 2700 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 = {𝑝𝐴𝑝𝑋})
20 eqid 2651 . . . 4 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
21 2polss.p . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
2210, 6, 20, 212polvalN 35518 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
23 sstr 3644 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
247, 23mpan2 707 . . . . 5 (𝑋𝐴𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
255, 10clatlubcl 17159 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
261, 24, 25syl2an 493 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
275, 9, 6, 20pmapval 35361 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
2826, 27syldan 486 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) = {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
2922, 28eqtrd 2685 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( 𝑋)) = {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)((lub‘𝐾)‘𝑋)})
3014, 19, 293sstr4d 3681 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {crab 2945   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  Basecbs 15904  lecple 15995  lubclub 16989  CLatccla 17154  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  pmapcpmap 35101  ⊥𝑃cpolN 35506 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-riotaBAD 34557 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-undef 7444  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-pmap 35108  df-polarityN 35507 This theorem is referenced by:  polcon2N  35523  pclss2polN  35525  sspmaplubN  35529  paddunN  35531  pnonsingN  35537  osumcllem1N  35560  osumcllem11N  35570  pexmidN  35573
 Copyright terms: Public domain W3C validator