MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pthd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pthd 26722
Description: A path of length 2 from one vertex to another vertex via a third vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 24-Jan-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
2wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
2wlkd.n (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
2wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
2wlkd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2wlkd.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2trld.n (𝜑𝐽𝐾)
Assertion
Ref Expression
2pthd (𝜑𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 2pthd
Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2wlkd.p . . . 4 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2 s3cli 13570 . . . 4 ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V
31, 2eqeltri 2694 . . 3 𝑃 ∈ Word V
43a1i 11 . 2 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
5 2wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
65fveq2i 6156 . . . 4 (#‘𝐹) = (#‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
7 s2len 13578 . . . 4 (#‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
86, 7eqtri 2643 . . 3 (#‘𝐹) = 2
9 3m1e2 11089 . . 3 (3 − 1) = 2
101fveq2i 6156 . . . . 5 (#‘𝑃) = (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
11 s3len 13583 . . . . 5 (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
1210, 11eqtr2i 2644 . . . 4 3 = (#‘𝑃)
1312oveq1i 6620 . . 3 (3 − 1) = ((#‘𝑃) − 1)
148, 9, 133eqtr2i 2649 . 2 (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1)
15 2wlkd.s . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
16 2wlkd.n . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
171, 5, 15, 162pthdlem1 26712 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
18 eqid 2621 . 2 (#‘𝐹) = (#‘𝐹)
19 2wlkd.e . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
20 2wlkd.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21 2wlkd.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
22 2trld.n . . 3 (𝜑𝐽𝐾)
231, 5, 15, 16, 19, 20, 21, 222trld 26720 . 2 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
244, 14, 17, 18, 23pthd 26551 1 (𝜑𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3189  wss 3559  {cpr 4155   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  1c1 9889  cmin 10218  2c2 11022  3c3 11023  #chash 13065  Word cword 13238  ⟨“cs2 13531  ⟨“cs3 13532  Vtxcvtx 25791  iEdgciedg 25792  Pathscpths 26494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246  df-concat 13248  df-s1 13249  df-s2 13538  df-s3 13539  df-wlks 26382  df-trls 26475  df-pths 26498
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator