Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pthdlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pthdlem1 26895
 Description: Lemma 1 for 2pthd 26905. (Contributed by AV, 14-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
2wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
2wlkd.n (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
Assertion
Ref Expression
2pthdlem1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉   𝑗,𝐹,𝑘   𝑃,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐴(𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗,𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐽(𝑗,𝑘)   𝐾(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem 2pthdlem1
StepHypRef Expression
1 2wlkd.n . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
2 2wlkd.p . . . . 5 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
3 2wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
4 2wlkd.s . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
52, 3, 42wlkdlem3 26892 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶))
6 simpl 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
7 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘1) = 𝐵)
86, 7neeq12d 2884 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴𝐵))
98bicomd 213 . . . . . . . . . 10 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
1093adant3 1101 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
1110biimpcd 239 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
1312imp 444 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
1413a1d 25 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶)) → (0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
15 eqid 2651 . . . . . 6 1 = 1
16 eqneqall 2834 . . . . . 6 (1 = 1 → (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
1715, 16mp1i 13 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶)) → (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
18 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) = 𝐶)
19 simpl 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘1) = 𝐵)
2018, 19neeq12d 2884 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐶𝐵))
21 necom 2876 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝐵𝐵𝐶)
2220, 21syl6rbb 277 . . . . . . . . . 10 (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝐵𝐶 ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
23223adant1 1099 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝐵𝐶 ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
2423biimpcd 239 . . . . . . . 8 (𝐵𝐶 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
2524adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
2625imp 444 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶)) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))
2726a1d 25 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶)) → (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
2814, 17, 273jca 1261 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶)) → ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))))
291, 5, 28syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))))
302fveq2i 6232 . . . . . . . 8 (#‘𝑃) = (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
31 s3len 13685 . . . . . . . 8 (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
3230, 31eqtri 2673 . . . . . . 7 (#‘𝑃) = 3
3332oveq2i 6701 . . . . . 6 (0..^(#‘𝑃)) = (0..^3)
34 fzo0to3tp 12594 . . . . . 6 (0..^3) = {0, 1, 2}
3533, 34eqtri 2673 . . . . 5 (0..^(#‘𝑃)) = {0, 1, 2}
3635raleqi 3172 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))(𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} (𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
37 c0ex 10072 . . . . 5 0 ∈ V
38 1ex 10073 . . . . 5 1 ∈ V
39 2ex 11130 . . . . 5 2 ∈ V
40 neeq1 2885 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 0 ≠ 1))
41 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
4241neeq1d 2882 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
4340, 42imbi12d 333 . . . . 5 (𝑘 = 0 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))))
44 neeq1 2885 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 1))
45 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
4645neeq1d 2882 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
4744, 46imbi12d 333 . . . . 5 (𝑘 = 1 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1))))
48 neeq1 2885 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
49 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘2))
5049neeq1d 2882 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
5148, 50imbi12d 333 . . . . 5 (𝑘 = 2 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))))
5237, 38, 39, 43, 47, 51raltp 4272 . . . 4 (∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} (𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))))
5336, 52bitri 264 . . 3 (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))(𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))))
5429, 53sylibr 224 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))(𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
553fveq2i 6232 . . . . . . . 8 (#‘𝐹) = (#‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
56 s2len 13680 . . . . . . . 8 (#‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
5755, 56eqtri 2673 . . . . . . 7 (#‘𝐹) = 2
5857oveq2i 6701 . . . . . 6 (1..^(#‘𝐹)) = (1..^2)
59 fzo12sn 12591 . . . . . 6 (1..^2) = {1}
6058, 59eqtri 2673 . . . . 5 (1..^(#‘𝐹)) = {1}
6160raleqi 3172 . . . 4 (∀𝑗 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ {1} (𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
62 neeq2 2886 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → (𝑘𝑗𝑘 ≠ 1))
63 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 → (𝑃𝑗) = (𝑃‘1))
6463neeq2d 2883 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
6562, 64imbi12d 333 . . . . 5 (𝑗 = 1 → ((𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1))))
6638, 65ralsn 4254 . . . 4 (∀𝑗 ∈ {1} (𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
6761, 66bitri 264 . . 3 (∀𝑗 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
6867ralbii 3009 . 2 (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))(𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
6954, 68sylibr 224 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  {csn 4210  {ctp 4214  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975  2c2 11108  3c3 11109  ..^cfzo 12504  #chash 13157  ⟨“cs2 13632  ⟨“cs3 13633 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640 This theorem is referenced by:  2pthd  26905
 Copyright terms: Public domain W3C validator