MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pthfrgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pthfrgr 27264
Description: Between any two (different) vertices in a friendship graph, tere is a 2-path (simple path of length 2), see Proposition 1(b) of [MertziosUnger] p. 153 : "A friendship graph G ..., as well as the distance between any two nodes in G is at most two". (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 1-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2pthfrgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
2pthfrgr (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑏,𝑓,𝑝   𝑉,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem 2pthfrgr
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2pthfrgr.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2651 . . 3 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 22pthfrgrrn2 27263 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑚𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏)))
4 frgrusgr 27240 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
5 usgruhgr 26123 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
76adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) → 𝐺 ∈ UHGraph)
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝐺 ∈ UHGraph)
98adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → 𝐺 ∈ UHGraph)
10 simpllr 815 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → 𝑎𝑉)
11 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → 𝑚𝑉)
12 eldifi 3765 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏𝑉)
1312ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → 𝑏𝑉)
1410, 11, 133jca 1261 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → (𝑎𝑉𝑚𝑉𝑏𝑉))
159, 14jca 553 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑎𝑉𝑚𝑉𝑏𝑉)))
1615adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑎𝑉𝑚𝑉𝑏𝑉)))
17 simprrl 821 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → 𝑎𝑚)
18 eldifsn 4350 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑏𝑉𝑏𝑎))
19 necom 2876 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝑎𝑎𝑏)
2019biimpi 206 . . . . . . . . 9 (𝑏𝑎𝑎𝑏)
2118, 20simplbiim 659 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑎𝑏)
2221ad3antlr 767 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → 𝑎𝑏)
23 simprrr 822 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → 𝑚𝑏)
24 simprl 809 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → ({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
251, 22pthon3v 26908 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑎𝑉𝑚𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑎𝑚𝑎𝑏𝑚𝑏) ∧ ({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2))
2616, 17, 22, 23, 24, 25syl131anc 1379 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2))
2726ex 449 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → ((({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2)))
2827rexlimdva 3060 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (∃𝑚𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2)))
2928ralimdva 2991 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) → (∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑚𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏)) → ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2)))
3029ralimdva 2991 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∀𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑚𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏)) → ∀𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2)))
313, 30mpd 15 1 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cdif 3604  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  2c2 11108  #chash 13157  Vtxcvtx 25919  Edgcedg 25984  UHGraphcuhgr 25996  USGraphcusgr 26089  SPathsOncspthson 26667   FriendGraph cfrgr 27236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1033  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-edg 25985  df-uhgr 25998  df-upgr 26022  df-umgr 26023  df-uspgr 26090  df-usgr 26091  df-wlks 26551  df-wlkson 26552  df-trls 26645  df-trlson 26646  df-pths 26668  df-spths 26669  df-spthson 26671  df-frgr 27237
This theorem is referenced by:  frgrconngr  27274
  Copyright terms: Public domain W3C validator