Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2pthfrgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pthfrgr 41476
Description: Between any two (different) vertices in a friendship graph, tere is a 2-path (simple path of length 2), see Proposition 1(b) of [MertziosUnger] p. 153 : "A friendship graph G ..., as well as the distance between any two nodes in G is at most two". (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 1-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2pthfrgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
2pthfrgr (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑏,𝑓,𝑝   𝑉,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem 2pthfrgr
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2pthfrgr.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2609 . . 3 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 22pthfrgrrn2 41475 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑚𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏)))
4 frgrusgr 41454 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph )
5 usgruhgr 40435 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph )
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ UHGraph )
76adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) → 𝐺 ∈ UHGraph )
87adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝐺 ∈ UHGraph )
98adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → 𝐺 ∈ UHGraph )
10 simpllr 794 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → 𝑎𝑉)
11 simpr 475 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → 𝑚𝑉)
12 eldifi 3693 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏𝑉)
1312ad2antlr 758 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → 𝑏𝑉)
1410, 11, 133jca 1234 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → (𝑎𝑉𝑚𝑉𝑏𝑉))
159, 14jca 552 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑎𝑉𝑚𝑉𝑏𝑉)))
1615adantr 479 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑎𝑉𝑚𝑉𝑏𝑉)))
17 simprrl 799 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → 𝑎𝑚)
18 eldifsn 4259 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑏𝑉𝑏𝑎))
19 necom 2834 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝑎𝑎𝑏)
2019biimpi 204 . . . . . . . . 9 (𝑏𝑎𝑎𝑏)
2118, 20simplbiim 656 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑎𝑏)
2221ad3antlr 762 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → 𝑎𝑏)
23 simprrr 800 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → 𝑚𝑏)
24 simprl 789 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → ({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
251, 22pthon3v-av 41172 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑎𝑉𝑚𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑎𝑚𝑎𝑏𝑚𝑏) ∧ ({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2))
2616, 17, 22, 23, 24, 25syl131anc 1330 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2))
2726ex 448 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → ((({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2)))
2827rexlimdva 3012 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (∃𝑚𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2)))
2928ralimdva 2944 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) → (∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑚𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏)) → ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2)))
3029ralimdva 2944 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∀𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑚𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏)) → ∀𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2)))
313, 30mpd 15 1 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  cdif 3536  {csn 4124  {cpr 4126   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  2c2 10920  #chash 12937  Vtxcvtx 40251   UHGraph cuhgr 40300  Edgcedga 40373   USGraph cusgr 40401  SPathsOncspthson 40944   FriendGraph cfrgr 41450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-ifp 1006  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-hash 12938  df-word 13103  df-concat 13105  df-s1 13106  df-s2 13393  df-s3 13394  df-uhgr 40302  df-upgr 40330  df-umgr 40331  df-edga 40374  df-uspgr 40402  df-usgr 40403  df-1wlks 40822  df-wlkson 40824  df-trls 40923  df-trlson 40924  df-pths 40945  df-spths 40946  df-spthson 40948  df-frgr 41451
This theorem is referenced by:  frgrconngr  41486
  Copyright terms: Public domain W3C validator