Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2pthnloop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pthnloop 40939
Description: A path of length at least 2 does not contain a loop. In contrast, a path of length 1 can contain/be a loop, see lppthon 41320. (Contributed by AV, 6-Feb-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2pthnloop.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
2pthnloop ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑃,𝑖

Proof of Theorem 2pthnloop
StepHypRef Expression
1 pthis1wlk 40935 . . . . 5 (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
2 wlkv 40817 . . . . 5 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
4 isPth 40931 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)))
5 isTrl 40906 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝐹)))
6 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . 13 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7 2pthnloop.i . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
86, 7is1wlk 40815 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))))))
98anbi1d 736 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝐹) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) ∧ Fun 𝐹)))
105, 9bitrd 266 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) ∧ Fun 𝐹)))
11 pthdadjvtx 40938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
1211ad5ant245 1298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))) ∧ 1 < (#‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
1312neneqd 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))) ∧ 1 < (#‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ¬ (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
14 ifpfal 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))))
1514adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))) ∧ 1 < (#‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ ¬ (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1))) → (if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))))
16 fvex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃𝑖) ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝑃𝑖) ∈ V)
18 fvex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ V)
20 neqne 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
21 fvex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼‘(𝐹𝑖)) ∈ V
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝐼‘(𝐹𝑖)) ∈ V)
23 prsshashgt1 13011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑃𝑖) ∈ V ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ V ∧ (𝑃𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐼‘(𝐹𝑖)) ∈ V) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)) → 2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))
2417, 19, 20, 22, 23syl31anc 1320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)) → 2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))
2524adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))) ∧ 1 < (#‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ ¬ (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1))) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)) → 2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))
2615, 25sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))) ∧ 1 < (#‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ ¬ (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1))) → (if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → 2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))
2713, 26mpdan 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))) ∧ 1 < (#‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → 2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))
2827ralimdva 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))) ∧ 1 < (#‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))
2928ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))) → (1 < (#‘𝐹) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))))
3029com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))))
3130exp31 627 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))))))
3231com24 92 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → (((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))))))
33323impia 1252 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) → (((Fun 𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))))
3433exp4c 633 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) → (Fun 𝐹 → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))))))
3534imp 443 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) ∧ Fun 𝐹) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))))))
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) ∧ Fun 𝐹) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))))))
3710, 36sylbid 228 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))))))
3837com24 92 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))))))
3938com14 93 . . . . . . 7 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))))))
40393imp 1248 . . . . . 6 ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))))
4140com12 32 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))))
424, 41sylbid 228 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))))
433, 42mpcom 37 . . 3 (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))))
4443pm2.43i 49 . 2 (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))))
4544imp 443 1 ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))2 ≤ (#‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  if-wif 1005  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  Vcvv 3172  cin 3538  wss 3539  c0 3873  {csn 4124  {cpr 4126   class class class wbr 4577  ccnv 5027  dom cdm 5028  cres 5030  cima 5031  Fun wfun 5784  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   < clt 9930  cle 9931  2c2 10917  ...cfz 12152  ..^cfzo 12289  #chash 12934  Word cword 13092  Vtxcvtx 40231  iEdgciedg 40232  1Walksc1wlks 40798  TrailSctrls 40901  PathScpths 40921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-ifp 1006  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-hash 12935  df-word 13100  df-1wlks 40802  df-trls 40903  df-pths 40925
This theorem is referenced by:  upgr2pthnlp  40940
  Copyright terms: Public domain W3C validator