Theorem 2pwp1prm 43750

Description: For every prime number of the form ((2↑𝑘) + 1) 𝑘 must be a power of 2, see Wikipedia "Fermat number", section "Other theorms about Fermat numbers", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number, 5-Aug-2021. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2pwp1prm	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))

Distinct variable group:   𝑛,𝐾

Proof of Theorem 2pwp1prm

Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddprmdvds 16238	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)
2	1	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾)
3		eldifi 4102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℙ)
4		prmnn 16017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℕ)
6		simpl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ)
7		nndivides 15616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾))
8	5, 6, 7	syl2anr 598	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑝 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾))
9		2re 11710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
11		nnnn0 11903	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
12		1le2 11845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ≤ 2
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ≤ 2)
14	10, 11, 13	expge1d 13528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ≤ (2↑𝑚))
15		1zzd 12012	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
16		2nn 11709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℕ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
18	17, 11	nnexpcld 13605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
19	18	nnzd 12085	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
20		zleltp1 12032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑚) ∈ ℤ) → (1 ≤ (2↑𝑚) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
21	15, 19, 20	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (1 ≤ (2↑𝑚) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
22	14, 21	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝑚) + 1))
23	18	nncnd 11653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
24		1cnd 10635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
25		subneg 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2↑𝑚) − -1) = ((2↑𝑚) + 1))
26	25	breq2d 5077	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 < ((2↑𝑚) − -1) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
27	23, 24, 26	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (1 < ((2↑𝑚) − -1) ↔ 1 < ((2↑𝑚) + 1)))
28	22, 27	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝑚) − -1))
29	28	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < ((2↑𝑚) − -1))
30	29	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → 1 < ((2↑𝑚) − -1))
31	18	nnred 11652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
32	31	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
33	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ)
34	11	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ0)
35	5	nnnn0d 11954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℕ0)
36	35	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ0)
37	34, 36	nn0mulcld 11959	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑝) ∈ ℕ0)
38	33, 37	nnexpcld 13605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) ∈ ℕ)
39	38	nnred 11652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) ∈ ℝ)
40		1red 10641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
41	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
42		nnz 12003	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
43	42	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
44	5	nnzd 12085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℤ)
45	44	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℤ)
46	43, 45	zmulcld 12092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑝) ∈ ℤ)
47		1lt2 11807	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 < 2
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < 2)
49		prmgt1 16040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 1 < 𝑝)
50	3, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 < 𝑝)
51	50	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 < 𝑝)
52		nnre 11644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
53	52	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
54	5	nnred 11652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑝 ∈ ℝ)
55	54	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℝ)
56		nngt0 11667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 0 < 𝑚)
57	56	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0 < 𝑚)
58		ltmulgt11 11499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑚) → (1 < 𝑝 ↔ 𝑚 < (𝑚 · 𝑝)))
59	53, 55, 57, 58	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 < 𝑝 ↔ 𝑚 < (𝑚 · 𝑝)))
60	51, 59	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 < (𝑚 · 𝑝))
61		ltexp2a 13529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚 · 𝑝) ∈ ℤ) ∧ (1 < 2 ∧ 𝑚 < (𝑚 · 𝑝))) → (2↑𝑚) < (2↑(𝑚 · 𝑝)))
62	41, 43, 46, 48, 60, 61	syl32anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) < (2↑(𝑚 · 𝑝)))
63	32, 39, 40, 62	ltadd1dd 11250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) + 1) < ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1))
64	63	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) + 1) < ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1))
65	23, 24	subnegd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((2↑𝑚) − -1) = ((2↑𝑚) + 1))
66	65	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((2↑𝑚) + 1) = ((2↑𝑚) − -1))
67	66	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) + 1) = ((2↑𝑚) − -1))
68	67	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) + 1) = ((2↑𝑚) − -1))
69		oveq2 7163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → (2↑(𝑚 · 𝑝)) = (2↑𝐾))
70	69	oveq1d 7170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1) = ((2↑𝐾) + 1))
71	70	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑(𝑚 · 𝑝)) + 1) = ((2↑𝐾) + 1))
72	64, 68, 71	3brtr3d 5096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) < ((2↑𝐾) + 1))
73		neg1z 12017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -1 ∈ ℤ
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → -1 ∈ ℤ)
75	19, 74	zsubcld 12091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((2↑𝑚) − -1) ∈ ℤ)
76	75	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) − -1) ∈ ℤ)
77		fzofi 13341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0..^𝑝) ∈ Fin
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0..^𝑝) ∈ Fin)
79	19	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
80		elfzonn0 13081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑝) → 𝑘 ∈ ℕ0)
81		zexpcl 13443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2↑𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚)↑𝑘) ∈ ℤ)
82	79, 80, 81	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → ((2↑𝑚)↑𝑘) ∈ ℤ)
83	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → -1 ∈ ℤ)
84		fzonnsub 13061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑝) → (𝑝 − 𝑘) ∈ ℕ)
85	84	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → (𝑝 − 𝑘) ∈ ℕ)
86		nnm1nn0 11937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 − 𝑘) ∈ ℕ → ((𝑝 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → ((𝑝 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
88		zexpcl 13443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ ((𝑝 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
89	83, 87, 88	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
90	82, 89	zmulcld 12092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑝)) → (((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1))) ∈ ℤ)
91	78, 90	fsumzcl 15091	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1))) ∈ ℤ)
92		dvdsmul1 15630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2↑𝑚) − -1) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1))) ∈ ℤ) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)))))
93	76, 91, 92	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)))))
94	93	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)))))
95	23	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
96		neg1cn 11750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -1 ∈ ℂ
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
98		pwdif 15222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ0 ∧ (2↑𝑚) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) = (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)))))
99	36, 95, 97, 98	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) = (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1)))))
100	99	breq2d 5077	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) ↔ ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1))))))
101	100	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)) ↔ ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚) − -1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑝)(((2↑𝑚)↑𝑘) · (-1↑((𝑝 − 𝑘) − 1))))))
102	94, 101	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)))
103		2cnd 11714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
104		nnnn0 11903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
105	103, 104	expcld 13509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2↑𝐾) ∈ ℂ)
106		1cnd 10635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
107	105, 106	subnegd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2↑𝐾) − -1) = ((2↑𝐾) + 1))
108	107	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑𝐾) − -1))
109	108	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑𝐾) − -1))
110	109	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝐾) + 1) = ((2↑𝐾) − -1))
111		oveq2 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 = (𝑚 · 𝑝) → (2↑𝐾) = (2↑(𝑚 · 𝑝)))
112	111	eqcoms 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → (2↑𝐾) = (2↑(𝑚 · 𝑝)))
113	112	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (2↑𝐾) = (2↑(𝑚 · 𝑝)))
114		2cnd 11714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
115	114, 36, 34	expmuld 13512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) = ((2↑𝑚)↑𝑝))
116	115	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (2↑(𝑚 · 𝑝)) = ((2↑𝑚)↑𝑝))
117	113, 116	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (2↑𝐾) = ((2↑𝑚)↑𝑝))
118		1exp 13457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (1↑𝑝) = 1)
119	44, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1↑𝑝) = 1)
120	119	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 = (1↑𝑝))
121	120	negeqd 10879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → -1 = -(1↑𝑝))
122		1cnd 10635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 1 ∈ ℂ)
123		oddn2prm 16148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ 𝑝)
124		oexpneg 15693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑝) → (-1↑𝑝) = -(1↑𝑝))
125	122, 5, 123, 124	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (-1↑𝑝) = -(1↑𝑝))
126	125	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → -(1↑𝑝) = (-1↑𝑝))
127	121, 126	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → -1 = (-1↑𝑝))
128	127	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → -1 = (-1↑𝑝))
129	128	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → -1 = (-1↑𝑝))
130	117, 129	oveq12d 7173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝐾) − -1) = (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)))
131	110, 130	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝐾) + 1) = (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝)))
132	131	breq2d 5077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (((2↑𝑚) − -1) ∥ ((2↑𝐾) + 1) ↔ ((2↑𝑚) − -1) ∥ (((2↑𝑚)↑𝑝) − (-1↑𝑝))))
133	102, 132	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ((2↑𝑚) − -1) ∥ ((2↑𝐾) + 1))
134	30, 72, 133	dvdsnprmd 16033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → ¬ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ)
135	134	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾) → (((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
136	135	ex 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → (((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))))
137	136	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))))
138	137	impancom 454	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))))
139	138	impl 458	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
140	139	rexlimdva 3284	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑝) = 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
141	8, 140	sylbid 242	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑝 ∥ 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
142	141	rexlimdva 3284	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → (∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
143	142	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → (∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝 ∥ 𝐾 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
144	2, 143	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))
145	144	pm2.18da 798	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐾) + 1) ∈ ℙ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139   ∖ cdif 3932  {csn 4566   class class class wbr 5065  (class class class)co 7155  Fincfn 8508  ℂcc 10534  ℝcr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541   < clt 10674   ≤ cle 10675   − cmin 10869  -cneg 10870  ℕcn 11637  2c2 11691  ℕ₀cn0 11896  ℤcz 11980  ..^cfzo 13032  ↑cexp 13428  Σcsu 15041   ∥ cdvds 15606  ℙcprime 16014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-sum 15042  df-dvds 15607  df-gcd 15843  df-prm 16015  df-pc 16173

This theorem is referenced by:  2pwp1prmfmtno  43751