Theorem 2reu1 3884

Description: Double restricted existential uniqueness. This theorem shows a condition under which a "naive" definition matches the correct one, analogous to 2eu1 2734. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reu1	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem 2reu1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2reu5a 3738	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)))
2		simprr 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)
3		rsp 3208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
4	3	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
5	4	impcom 410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)) → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)
6	2, 5	jca 514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
7	6	ex 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)))
8	7	rmoimia 3735	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
9		nfra1 3222	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑
10	9	rmoanim 3881	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
11	8, 10	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
12	11	ancrd 554	. . . . . . 7 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)))
13		2rmoswap 3755	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
14	13	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
15	14	imdistani 571	. . . . . . 7 ⊢ ((∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
16	12, 15	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
17	1, 16	simplbiim 507	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
18		2reu2rex 3435	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)
19		rexcom 3358	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
20	18, 19	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
21	18, 20	jca 514	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
22	17, 21	jctild 528	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∧ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))))
23		reu5 3433	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
24		reu5 3433	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
25	23, 24	anbi12i 628	. . . . 5 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
26		an4 654	. . . . 5 ⊢ (((∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∧ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
27	25, 26	bitri 277	. . . 4 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∧ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
28	22, 27	syl6ibr 254	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
29	28	com12 32	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
30		2rexreu 3756	. 2 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)
31	29, 30	impbid1 227	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141  ∃wrex 3142  ∃!wreu 3143  ∃*wrmo 3144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149

This theorem is referenced by:  2reu2  3885  2sqreu  26035  2sqreunn  26036  2sqreult  26037  2sqreultb  26038  2sqreunnlt  26039  2sqreunnltb  26040  2reu3  43316