Theorem 2reu3 43308

Description: Double restricted existential uniqueness, analogous to 2eu3 2735. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reu3	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem 2reu3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orcom 866	. . . . . . 7 ⊢ ((∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∨ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
2	1	ralbii 3165	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∨ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
3		nfrmo1 3371	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑
4	3	r19.32 43295	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∨ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
5	2, 4	bitri 277	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
6		orcom 866	. . . . 5 ⊢ ((∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∨ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
7	5, 6	bitri 277	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
8	7	ralbii 3165	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
9		nfcv 2977	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
10		nfrmo1 3371	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑
11	9, 10	nfralw 3225	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑
12	11	r19.32 43295	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
13	8, 12	bitri 277	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
14		2reu1 3880	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)))
15	14	biimpd 231	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)))
16		ancom 463	. . . . . 6 ⊢ ((∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
17	15, 16	syl6ib 253	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
18	17	adantld 493	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
19		2reu1 3880	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
20	19	biimpd 231	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
21	20	adantrd 494	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
22	18, 21	jaoi 853	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
23		2rexreu 3752	. . . 4 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)
24		2rexreu 3752	. . . . 5 ⊢ ((∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
25	24	ancoms 461	. . . 4 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
26	23, 25	jca 514	. . 3 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
27	22, 26	impbid1 227	. 2 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
28	13, 27	sylbi 219	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  ∃!wreu 3140  ∃*wrmo 3141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146

This theorem is referenced by: (None)