Theorem 2reu4 41511

Description: Definition of double restricted existential uniqueness ("exactly one 𝑥 and exactly one 𝑦"), analogous to 2eu4 2585. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reu4	⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 → (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑤,𝜑   𝑥,𝑤,𝑦,𝐴,𝑧   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem 2reu4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reurex 3190	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)
2		rexn0 4107	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
4		reurex 3190	. . . 4 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
5		rexn0 4107	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
7	3, 6	anim12i 589	. 2 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
8		ne0i 3954	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
9		ne0i 3954	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝐵 ≠ ∅)
10	8, 9	anim12i 589	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
11	10	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝜑 → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
12	11	rexlimivv 3065	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
13	12	adantr 480	. 2 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 → (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤))) → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
14		2reu4a 41510	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 → (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))))
15	7, 13, 14	pm5.21nii 367	1 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝜑 → (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  ∃!wreu 2943  ∅c0 3948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-v 3233  df-dif 3610  df-nul 3949

This theorem is referenced by: (None)