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Theorem 2sqblem 25934
Description: Lemma for 2sqb 25935. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sqb.1 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
2sqb.2 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))
2sqb.3 (𝜑𝑃 = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
2sqb.4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2sqb.5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
2sqb.6 (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
2sqblem (𝜑 → (𝑃 mod 4) = 1)

Proof of Theorem 2sqblem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqb.1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
21simpld 495 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
3 nprmdvds1 16038 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 1)
5 prmz 16007 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
7 1z 12000 . . . . 5 1 ∈ ℤ
8 dvdsnegb 15615 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
96, 7, 8sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
104, 9mtbid 325 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ -1)
11 2sqb.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))
1211simpld 495 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
13 2sqb.5 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
1412, 13zmulcld 12081 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ)
15 zsqcl 13482 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
1613, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
17 dvdsmul1 15619 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐵↑2)))
186, 16, 17syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐵↑2)))
1911simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ ℤ)
2019, 13zmulcld 12081 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ)
21 zsqcl 13482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
23 peano2zm 12013 . . . . . . . . . . 11 (((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ)
2524zcnd 12076 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℂ)
26 zsqcl 13482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
2714, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
2827peano2zd 12078 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℤ)
2928zcnd 12076 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℂ)
3025, 29addcomd 10830 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)) = ((((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) + (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)))
3127zcnd 12076 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
32 ax-1cn 10583 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3422zcnd 12076 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
3531, 33, 34ppncand 11025 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) + (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)))
36 zsqcl 13482 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋↑2) ∈ ℤ)
3712, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℤ)
3837zcnd 12076 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
39 zsqcl 13482 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌↑2) ∈ ℤ)
4019, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℤ)
4140zcnd 12076 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
4216zcnd 12076 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
4338, 41, 42adddird 10654 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) · (𝐵↑2)) = (((𝑋↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝑌↑2) · (𝐵↑2))))
44 2sqb.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
4544oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · (𝐵↑2)) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) · (𝐵↑2)))
4612zcnd 12076 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4713zcnd 12076 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4846, 47sqmuld 13510 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) = ((𝑋↑2) · (𝐵↑2)))
4919zcnd 12076 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
5049, 47sqmuld 13510 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) = ((𝑌↑2) · (𝐵↑2)))
5148, 50oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)) = (((𝑋↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝑌↑2) · (𝐵↑2))))
5243, 45, 513eqtr4rd 2864 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)) = (𝑃 · (𝐵↑2)))
5330, 35, 523eqtrd 2857 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)) = (𝑃 · (𝐵↑2)))
5418, 53breqtrrd 5085 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)))
55 2sqb.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
56 dvdsmul1 15619 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴))
576, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴))
586, 55zmulcld 12081 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 · 𝐴) ∈ ℤ)
59 dvdsnegb 15615 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴)))
606, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴)))
6157, 60mpbid 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴))
6220zcnd 12076 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ)
63 negsubdi2 10933 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ) → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = ((𝑌 · 𝐵) − 1))
6432, 62, 63sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = ((𝑌 · 𝐵) − 1))
6558zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 · 𝐴) ∈ ℂ)
6619zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
67 absresq 14650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑌 ∈ ℝ → ((abs‘𝑌)↑2) = (𝑌↑2))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((abs‘𝑌)↑2) = (𝑌↑2))
6966resqcld 13599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
70 prmnn 16006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
712, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
7271nnred 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
7372resqcld 13599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
74 zsqcl2 13490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋↑2) ∈ ℕ0)
7512, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℕ0)
76 nn0addge2 11932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑌↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑋↑2) ∈ ℕ0) → (𝑌↑2) ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
7769, 75, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑌↑2) ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
7877, 44breqtrrd 5085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑌↑2) ≤ 𝑃)
796zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
8079exp1d 13493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
82 2z 12002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℤ
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
84 prmuz2 16028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
852, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
86 eluz2gt1 12308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 1 < 𝑃)
88 1lt2 11796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 < 2
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 1 < 2)
90 ltexp2a 13518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝑃 ∧ 1 < 2)) → (𝑃↑1) < (𝑃↑2))
9172, 81, 83, 87, 89, 90syl32anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑃↑1) < (𝑃↑2))
9280, 91eqbrtrrd 5081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑃 < (𝑃↑2))
9369, 72, 73, 78, 92lelttrd 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑌↑2) < (𝑃↑2))
9468, 93eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((abs‘𝑌)↑2) < (𝑃↑2))
9549abscld 14784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℝ)
9649absge0d 14792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑌))
9771nnnn0d 11943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
9897nn0ge0d 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
9995, 72, 96, 98lt2sqd 13607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((abs‘𝑌) < 𝑃 ↔ ((abs‘𝑌)↑2) < (𝑃↑2)))
10094, 99mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (abs‘𝑌) < 𝑃)
1016zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
10295, 101ltnled 10775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((abs‘𝑌) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
103100, 102mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ¬ 𝑃 ≤ (abs‘𝑌))
104 sqnprm 16034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋 ∈ ℤ → ¬ (𝑋↑2) ∈ ℙ)
10512, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ¬ (𝑋↑2) ∈ ℙ)
10649abs00ad 14638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((abs‘𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0))
10744, 2eqeltrrd 2911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℙ)
108 sq0i 13544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑌 = 0 → (𝑌↑2) = 0)
109108oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑌 = 0 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = ((𝑋↑2) + 0))
110109eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑌 = 0 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℙ ↔ ((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ))
111107, 110syl5ibcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑌 = 0 → ((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ))
11238addid1d 10828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑋↑2) + 0) = (𝑋↑2))
113112eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ ↔ (𝑋↑2) ∈ ℙ))
114111, 113sylibd 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑌 = 0 → (𝑋↑2) ∈ ℙ))
115106, 114sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((abs‘𝑌) = 0 → (𝑋↑2) ∈ ℙ))
116105, 115mtod 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ¬ (abs‘𝑌) = 0)
117 nn0abscl 14660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑌 ∈ ℤ → (abs‘𝑌) ∈ ℕ0)
11819, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℕ0)
119 elnn0 11887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((abs‘𝑌) ∈ ℕ0 ↔ ((abs‘𝑌) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑌) = 0))
120118, 119sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((abs‘𝑌) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑌) = 0))
121120ord 858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (¬ (abs‘𝑌) ∈ ℕ → (abs‘𝑌) = 0))
122116, 121mt3d 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℕ)
123 dvdsle 15648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑌) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (abs‘𝑌) → 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
1246, 122, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑃 ∥ (abs‘𝑌) → 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
125103, 124mtod 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (abs‘𝑌))
126 dvdsabsb 15617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑃𝑌𝑃 ∥ (abs‘𝑌)))
1276, 19, 126syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃𝑌𝑃 ∥ (abs‘𝑌)))
128125, 127mtbird 326 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ 𝑃𝑌)
129 coprm 16043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑌 ↔ (𝑃 gcd 𝑌) = 1))
1302, 19, 129syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (¬ 𝑃𝑌 ↔ (𝑃 gcd 𝑌) = 1))
131128, 130mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = 1)
132 2sqb.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))
133131, 132eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))
13465, 62, 133mvrraddd 11040 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 − (𝑌 · 𝐵)) = (𝑃 · 𝐴))
135134negeqd 10868 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = -(𝑃 · 𝐴))
13664, 135eqtr3d 2855 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) − 1) = -(𝑃 · 𝐴))
13761, 136breqtrrd 5085 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1))
13820peano2zd 12078 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) + 1) ∈ ℤ)
139 peano2zm 12013 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ)
14020, 139syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ)
141 dvdsmultr2 15637 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑌 · 𝐵) + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1))))
1426, 138, 140, 141syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1))))
143137, 142mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
144 sq1 13546 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
145144oveq2i 7156 . . . . . . . . 9 (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)
146 subsq 13560 . . . . . . . . . 10 (((𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
14762, 32, 146sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
148145, 147syl5eqr 2867 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
149143, 148breqtrrd 5085 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1))
150 dvdsadd2b 15644 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℤ ∧ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1))) → (𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ↔ 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))))
1516, 28, 24, 149, 150syl112anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ↔ 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))))
15254, 151mpbird 258 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
153 subneg 10923 . . . . . 6 ((((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
15431, 32, 153sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
155152, 154breqtrrd 5085 . . . 4 (𝜑𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1))
156 oveq1 7152 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → (𝑥↑2) = ((𝑋 · 𝐵)↑2))
157156oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → ((𝑥↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1))
158157breq2d 5069 . . . . 5 (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1) ↔ 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1)))
159158rspcev 3620 . . . 4 (((𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))
16014, 155, 159syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))
161 neg1z 12006 . . . 4 -1 ∈ ℤ
162 eldifsn 4711 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
1631, 162sylibr 235 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
164 lgsqr 25854 . . . 4 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))))
165161, 163, 164sylancr 587 . . 3 (𝜑 → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))))
16610, 160, 165mpbir2and 709 . 2 (𝜑 → (-1 /L 𝑃) = 1)
167 m1lgs 25891 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
168163, 167syl 17 . 2 (𝜑 → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
169166, 168mpbid 233 1 (𝜑 → (𝑃 mod 4) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  cdif 3930  {csn 4557   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859  cn 11626  2c2 11680  4c4 11682  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231   mod cmo 13225  cexp 13417  abscabs 14581  cdvds 15595   gcd cgcd 15831  cprime 16003   /L clgs 25797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-phi 16091  df-pc 16162  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-prds 16709  df-pws 16711  df-imas 16769  df-qus 16770  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-nsg 18215  df-eqg 18216  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-srg 19185  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-field 19434  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-lidl 19875  df-rsp 19876  df-2idl 19933  df-nzr 19959  df-rlreg 19984  df-domn 19985  df-idom 19986  df-assa 20013  df-asp 20014  df-ascl 20015  df-psr 20064  df-mvr 20065  df-mpl 20066  df-opsr 20068  df-evls 20214  df-evl 20215  df-psr1 20276  df-vr1 20277  df-ply1 20278  df-coe1 20279  df-evl1 20407  df-cnfld 20474  df-zring 20546  df-zrh 20579  df-zn 20582  df-mdeg 24576  df-deg1 24577  df-mon1 24651  df-uc1p 24652  df-q1p 24653  df-r1p 24654  df-lgs 25798
This theorem is referenced by:  2sqb  25935
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