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Theorem 2sqblem 25137
Description: The converse to 2sq 25136. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sqb.1 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
2sqb.2 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))
2sqb.3 (𝜑𝑃 = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
2sqb.4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2sqb.5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
2sqb.6 (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
2sqblem (𝜑 → (𝑃 mod 4) = 1)

Proof of Theorem 2sqblem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqb.1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
21simpld 475 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
3 nprmdvds1 15399 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 1)
5 prmz 15370 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
7 1z 11392 . . . . 5 1 ∈ ℤ
8 dvdsnegb 14980 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
96, 7, 8sylancl 693 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ -1))
104, 9mtbid 314 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ -1)
11 2sqb.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))
1211simpld 475 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
13 2sqb.5 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
1412, 13zmulcld 11473 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ)
15 zsqcl 12917 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
1613, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
17 dvdsmul1 14984 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐵↑2) ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐵↑2)))
186, 16, 17syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∥ (𝑃 · (𝐵↑2)))
1911simprd 479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ ℤ)
2019, 13zmulcld 11473 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ)
21 zsqcl 12917 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
23 peano2zm 11405 . . . . . . . . . . 11 (((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ)
2524zcnd 11468 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℂ)
26 zsqcl 12917 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
2714, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℤ)
2827peano2zd 11470 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℤ)
2928zcnd 11468 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℂ)
3025, 29addcomd 10223 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)) = ((((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) + (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)))
3127zcnd 11468 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
32 ax-1cn 9979 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3422zcnd 11468 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
3531, 33, 34ppncand 10417 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) + (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)))
36 zsqcl 12917 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋↑2) ∈ ℤ)
3712, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℤ)
3837zcnd 11468 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
39 zsqcl 12917 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ ℤ → (𝑌↑2) ∈ ℤ)
4019, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℤ)
4140zcnd 11468 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
4216zcnd 11468 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
4338, 41, 42adddird 10050 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) · (𝐵↑2)) = (((𝑋↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝑌↑2) · (𝐵↑2))))
44 2sqb.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 = ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
4544oveq1d 6650 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · (𝐵↑2)) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) · (𝐵↑2)))
4612zcnd 11468 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4713zcnd 11468 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4846, 47sqmuld 13003 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵)↑2) = ((𝑋↑2) · (𝐵↑2)))
4919zcnd 11468 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
5049, 47sqmuld 13003 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵)↑2) = ((𝑌↑2) · (𝐵↑2)))
5148, 50oveq12d 6653 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)) = (((𝑋↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝑌↑2) · (𝐵↑2))))
5243, 45, 513eqtr4rd 2665 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) + ((𝑌 · 𝐵)↑2)) = (𝑃 · (𝐵↑2)))
5330, 35, 523eqtrd 2658 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)) = (𝑃 · (𝐵↑2)))
5418, 53breqtrrd 4672 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1)))
55 2sqb.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
56 dvdsmul1 14984 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴))
576, 55, 56syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴))
586, 55zmulcld 11473 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 · 𝐴) ∈ ℤ)
59 dvdsnegb 14980 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴)))
606, 58, 59syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 ∥ (𝑃 · 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴)))
6157, 60mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∥ -(𝑃 · 𝐴))
6220zcnd 11468 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ)
63 negsubdi2 10325 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ) → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = ((𝑌 · 𝐵) − 1))
6432, 62, 63sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = ((𝑌 · 𝐵) − 1))
6519zred 11467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
66 absresq 14023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑌 ∈ ℝ → ((abs‘𝑌)↑2) = (𝑌↑2))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((abs‘𝑌)↑2) = (𝑌↑2))
6865resqcld 13018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℝ)
69 prmnn 15369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
702, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
7170nnred 11020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
7271resqcld 13018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
73 zsqcl2 12924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋↑2) ∈ ℕ0)
7412, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℕ0)
75 nn0addge2 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑌↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑋↑2) ∈ ℕ0) → (𝑌↑2) ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
7668, 74, 75syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑌↑2) ≤ ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)))
7776, 44breqtrrd 4672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑌↑2) ≤ 𝑃)
786zcnd 11468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
7978exp1d 12986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
807a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
81 2z 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℤ
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
83 prmuz2 15389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
842, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
85 eluz2b2 11746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
8685simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
8784, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 1 < 𝑃)
88 1lt2 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 < 2
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 1 < 2)
90 ltexp2a 12895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝑃 ∧ 1 < 2)) → (𝑃↑1) < (𝑃↑2))
9171, 80, 82, 87, 89, 90syl32anc 1332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑃↑1) < (𝑃↑2))
9279, 91eqbrtrrd 4668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑃 < (𝑃↑2))
9368, 71, 72, 77, 92lelttrd 10180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑌↑2) < (𝑃↑2))
9467, 93eqbrtrd 4666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((abs‘𝑌)↑2) < (𝑃↑2))
9549abscld 14156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℝ)
9649absge0d 14164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑌))
9770nnnn0d 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
9897nn0ge0d 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
9995, 71, 96, 98lt2sqd 13026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((abs‘𝑌) < 𝑃 ↔ ((abs‘𝑌)↑2) < (𝑃↑2)))
10094, 99mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘𝑌) < 𝑃)
1016zred 11467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
10295, 101ltnled 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((abs‘𝑌) < 𝑃 ↔ ¬ 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
103100, 102mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ¬ 𝑃 ≤ (abs‘𝑌))
104 sqnprm 15395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 ∈ ℤ → ¬ (𝑋↑2) ∈ ℙ)
10512, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ¬ (𝑋↑2) ∈ ℙ)
10649abs00ad 14011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((abs‘𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = 0))
10744, 2eqeltrrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℙ)
108 sq0i 12939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑌 = 0 → (𝑌↑2) = 0)
109108oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑌 = 0 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = ((𝑋↑2) + 0))
110109eleq1d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑌 = 0 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℙ ↔ ((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ))
111107, 110syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑌 = 0 → ((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ))
11238addid1d 10221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((𝑋↑2) + 0) = (𝑋↑2))
113112eleq1d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (((𝑋↑2) + 0) ∈ ℙ ↔ (𝑋↑2) ∈ ℙ))
114111, 113sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑌 = 0 → (𝑋↑2) ∈ ℙ))
115106, 114sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((abs‘𝑌) = 0 → (𝑋↑2) ∈ ℙ))
116105, 115mtod 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ¬ (abs‘𝑌) = 0)
117 nn0abscl 14033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑌 ∈ ℤ → (abs‘𝑌) ∈ ℕ0)
11819, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℕ0)
119 elnn0 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((abs‘𝑌) ∈ ℕ0 ↔ ((abs‘𝑌) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑌) = 0))
120118, 119sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((abs‘𝑌) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑌) = 0))
121120ord 392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (¬ (abs‘𝑌) ∈ ℕ → (abs‘𝑌) = 0))
122116, 121mt3d 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℕ)
123 dvdsle 15013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑌) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (abs‘𝑌) → 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
1246, 122, 123syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑃 ∥ (abs‘𝑌) → 𝑃 ≤ (abs‘𝑌)))
125103, 124mtod 189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ (abs‘𝑌))
126 dvdsabsb 14982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑃𝑌𝑃 ∥ (abs‘𝑌)))
1276, 19, 126syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑃𝑌𝑃 ∥ (abs‘𝑌)))
128125, 127mtbird 315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ 𝑃𝑌)
129 coprm 15404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑌 ↔ (𝑃 gcd 𝑌) = 1))
1302, 19, 129syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (¬ 𝑃𝑌 ↔ (𝑃 gcd 𝑌) = 1))
131128, 130mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = 1)
132 2sqb.6 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑃 gcd 𝑌) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))
133131, 132eqtr3d 2656 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 = ((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)))
134133oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 − (𝑌 · 𝐵)) = (((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)) − (𝑌 · 𝐵)))
13558zcnd 11468 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 · 𝐴) ∈ ℂ)
136135, 62pncand 10378 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑃 · 𝐴) + (𝑌 · 𝐵)) − (𝑌 · 𝐵)) = (𝑃 · 𝐴))
137134, 136eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 − (𝑌 · 𝐵)) = (𝑃 · 𝐴))
138137negeqd 10260 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(1 − (𝑌 · 𝐵)) = -(𝑃 · 𝐴))
13964, 138eqtr3d 2656 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) − 1) = -(𝑃 · 𝐴))
14061, 139breqtrrd 4672 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1))
14120peano2zd 11470 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) + 1) ∈ ℤ)
142 peano2zm 11405 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ)
14320, 142syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ)
144 dvdsmultr2 15002 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑌 · 𝐵) + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑌 · 𝐵) − 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1))))
1456, 141, 143, 144syl3anc 1324 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝑌 · 𝐵) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1))))
146140, 145mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
147 sq1 12941 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
148147oveq2i 6646 . . . . . . . . 9 (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1)
149 subsq 12955 . . . . . . . . . 10 (((𝑌 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
15062, 32, 149sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − (1↑2)) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
151148, 150syl5eqr 2668 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) = (((𝑌 · 𝐵) + 1) · ((𝑌 · 𝐵) − 1)))
152146, 151breqtrrd 4672 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1))
153 dvdsadd2b 15009 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ∈ ℤ ∧ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1))) → (𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ↔ 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))))
1546, 28, 24, 152, 153syl112anc 1328 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1) ↔ 𝑃 ∥ ((((𝑌 · 𝐵)↑2) − 1) + (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))))
15554, 154mpbird 247 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
156 subneg 10315 . . . . . 6 ((((𝑋 · 𝐵)↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
15731, 32, 156sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) + 1))
158155, 157breqtrrd 4672 . . . 4 (𝜑𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1))
159 oveq1 6642 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → (𝑥↑2) = ((𝑋 · 𝐵)↑2))
160159oveq1d 6650 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → ((𝑥↑2) − -1) = (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1))
161160breq2d 4656 . . . . 5 (𝑥 = (𝑋 · 𝐵) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1) ↔ 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1)))
162161rspcev 3304 . . . 4 (((𝑋 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝑋 · 𝐵)↑2) − -1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))
16314, 158, 162syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))
164 neg1z 11398 . . . 4 -1 ∈ ℤ
165 eldifsn 4308 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
1661, 165sylibr 224 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
167 lgsqr 25057 . . . 4 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))))
168164, 166, 167sylancr 694 . . 3 (𝜑 → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (¬ 𝑃 ∥ -1 ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − -1))))
16910, 163, 168mpbir2and 956 . 2 (𝜑 → (-1 /L 𝑃) = 1)
170 m1lgs 25094 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
171166, 170syl 17 . 2 (𝜑 → ((-1 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 4) = 1))
172169, 171mpbid 222 1 (𝜑 → (𝑃 mod 4) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wrex 2910  cdif 3564  {csn 4168   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926   < clt 10059  cle 10060  cmin 10251  -cneg 10252  cn 11005  2c2 11055  4c4 11057  0cn0 11277  cz 11362  cuz 11672   mod cmo 12651  cexp 12843  abscabs 13955  cdvds 14964   gcd cgcd 15197  cprime 15366   /L clgs 25000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-ofr 6883  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-tpos 7337  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-ec 7729  df-qs 7733  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-dvds 14965  df-gcd 15198  df-prm 15367  df-phi 15452  df-pc 15523  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-prds 16089  df-pws 16091  df-imas 16149  df-qus 16150  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mulg 17522  df-subg 17572  df-nsg 17573  df-eqg 17574  df-ghm 17639  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-srg 18487  df-ring 18530  df-cring 18531  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-invr 18653  df-dvr 18664  df-rnghom 18696  df-drng 18730  df-field 18731  df-subrg 18759  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-lsp 18953  df-sra 19153  df-rgmod 19154  df-lidl 19155  df-rsp 19156  df-2idl 19213  df-nzr 19239  df-rlreg 19264  df-domn 19265  df-idom 19266  df-assa 19293  df-asp 19294  df-ascl 19295  df-psr 19337  df-mvr 19338  df-mpl 19339  df-opsr 19341  df-evls 19487  df-evl 19488  df-psr1 19531  df-vr1 19532  df-ply1 19533  df-coe1 19534  df-evl1 19662  df-cnfld 19728  df-zring 19800  df-zrh 19833  df-zn 19836  df-mdeg 23796  df-deg1 23797  df-mon1 23871  df-uc1p 23872  df-q1p 23873  df-r1p 23874  df-lgs 25001
This theorem is referenced by:  2sqb  25138
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