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Theorem 2sqlem8 25196
Description: Lemma for 2sq 25200. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem7.2 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}
2sqlem9.5 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...(𝑀 − 1))∀𝑎𝑌 (𝑏𝑎𝑏𝑆))
2sqlem9.7 (𝜑𝑀𝑁)
2sqlem8.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem8.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
2sqlem8.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2sqlem8.2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
2sqlem8.3 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
2sqlem8.4 (𝜑𝑁 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
2sqlem8.c 𝐶 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2sqlem8.d 𝐷 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2sqlem8.e 𝐸 = (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷))
2sqlem8.f 𝐹 = (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷))
Assertion
Ref Expression
2sqlem8 (𝜑𝑀𝑆)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐴,𝑎,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦   𝐵,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝑀,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷   𝐸,𝑎,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧   𝑌,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝐹,𝑎,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑤,𝑏)   𝐵(𝑧,𝑤)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑤)   𝐸(𝑤,𝑏)   𝐹(𝑤,𝑏)   𝑀(𝑤)   𝑁(𝑤,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 2sqlem8
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . 2 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2 2sqlem8.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
3 eluz2b3 11800 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≠ 1))
42, 3sylib 208 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≠ 1))
54simpld 474 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
6 2sqlem9.7 . . . . . . 7 (𝜑𝑀𝑁)
7 eluzelz 11735 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ‘2) → 𝑀 ∈ ℤ)
82, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 2sqlem8.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
109nnzd 11519 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
11 2sqlem8.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
12 2sqlem8.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
1311, 5, 124sqlem5 15693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐶) / 𝑀) ∈ ℤ))
1413simpld 474 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
15 zsqcl 12974 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
17 2sqlem8.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
18 2sqlem8.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
1917, 5, 184sqlem5 15693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℤ ∧ ((𝐵𝐷) / 𝑀) ∈ ℤ))
2019simpld 474 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
21 zsqcl 12974 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
2316, 22zaddcld 11524 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
2411, 5, 124sqlem8 15696 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐶↑2)))
2517, 5, 184sqlem8 15696 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐷↑2)))
26 zsqcl 12974 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
2711, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
2827, 16zsubcld 11525 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) ∈ ℤ)
29 zsqcl 12974 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
3017, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
3130, 22zsubcld 11525 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
32 dvds2add 15062 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐵↑2) − (𝐷↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐷↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐷↑2)))))
338, 28, 31, 32syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐷↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐷↑2)))))
3424, 25, 33mp2and 715 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐷↑2))))
35 2sqlem8.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
3635oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
3727zcnd 11521 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3830zcnd 11521 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
3916zcnd 11521 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
4022zcnd 11521 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
4137, 38, 39, 40addsub4d 10477 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐷↑2))))
4236, 41eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐴↑2) − (𝐶↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐷↑2))))
4334, 42breqtrrd 4713 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∥ (𝑁 − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
44 dvdssub2 15070 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∥ (𝑁 − ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))) → (𝑀𝑁𝑀 ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
458, 10, 23, 43, 44syl31anc 1369 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝑁𝑀 ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
466, 45mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
47 2sqlem7.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑌 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}
48 2sqlem9.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...(𝑀 − 1))∀𝑎𝑌 (𝑏𝑎𝑏𝑆))
49 2sqlem8.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
501, 47, 48, 6, 9, 2, 11, 17, 49, 35, 12, 182sqlem8a 25195 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ)
5150nnzd 11519 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ)
52 zsqcl2 12981 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℕ0)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℕ0)
5453nn0cnd 11391 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℂ)
55 2sqlem8.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷))
56 gcddvds 15272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷))
5714, 20, 56syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷))
5857simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶)
5950nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ≠ 0)
60 dvdsval2 15030 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ≠ 0 ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶 ↔ (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ))
6151, 59, 14, 60syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶 ↔ (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ))
6258, 61mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ)
6355, 62syl5eqel 2734 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
64 zsqcl2 12981 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
6665nn0cnd 11391 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
67 2sqlem8.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷))
6857simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷)
69 dvdsval2 15030 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ≠ 0 ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷 ↔ (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ))
7051, 59, 20, 69syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷 ↔ (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ))
7168, 70mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷)) ∈ ℤ)
7267, 71syl5eqel 2734 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
73 zsqcl2 12981 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
7574nn0cnd 11391 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
7654, 66, 75adddid 10102 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = ((((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐸↑2)) + (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐹↑2))))
7751zcnd 11521 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℂ)
7863zcnd 11521 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
7977, 78sqmuld 13060 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸)↑2) = (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐸↑2)))
8055oveq2i 6701 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸) = ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷)))
8114zcnd 11521 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
8281, 77, 59divcan2d 10841 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐶 / (𝐶 gcd 𝐷))) = 𝐶)
8380, 82syl5eq 2697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸) = 𝐶)
8483oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸)↑2) = (𝐶↑2))
8579, 84eqtr3d 2687 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐸↑2)) = (𝐶↑2))
8672zcnd 11521 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
8777, 86sqmuld 13060 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹)↑2) = (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐹↑2)))
8867oveq2i 6701 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹) = ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷)))
8920zcnd 11521 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
9089, 77, 59divcan2d 10841 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐷 / (𝐶 gcd 𝐷))) = 𝐷)
9188, 90syl5eq 2697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹) = 𝐷)
9291oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹)↑2) = (𝐷↑2))
9387, 92eqtr3d 2687 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐹↑2)) = (𝐷↑2))
9485, 93oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐸↑2)) + (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · (𝐹↑2))) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
9576, 94eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
9646, 95breqtrrd 4713 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
97 zsqcl 12974 . . . . . . . 8 ((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℤ)
9851, 97syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℤ)
99 gcdcom 15282 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℤ) → (𝑀 gcd ((𝐶 gcd 𝐷)↑2)) = (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) gcd 𝑀))
1008, 98, 99syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 gcd ((𝐶 gcd 𝐷)↑2)) = (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) gcd 𝑀))
101 gcddvds 15272 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐶 gcd 𝐷) ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
10251, 8, 101syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐶 gcd 𝐷) ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
103102simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐶 gcd 𝐷))
10451, 8gcdcld 15277 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℕ0)
105104nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ)
106 dvdstr 15065 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐶 gcd 𝐷) ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐶))
107105, 51, 14, 106syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐶 gcd 𝐷) ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐶) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐶))
108103, 58, 107mp2and 715 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐶)
109102simprd 478 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝑀)
11013simprd 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴𝐶) / 𝑀) ∈ ℤ)
1115nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ≠ 0)
11211, 14zsubcld 11525 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ ℤ)
113 dvdsval2 15030 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (𝐴𝐶) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴𝐶) ↔ ((𝐴𝐶) / 𝑀) ∈ ℤ))
1148, 111, 112, 113syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 ∥ (𝐴𝐶) ↔ ((𝐴𝐶) / 𝑀) ∈ ℤ))
115110, 114mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∥ (𝐴𝐶))
116 dvdstr 15065 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐶) ∈ ℤ) → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝑀𝑀 ∥ (𝐴𝐶)) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐴𝐶)))
117105, 8, 112, 116syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝑀𝑀 ∥ (𝐴𝐶)) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐴𝐶)))
118109, 115, 117mp2and 715 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐴𝐶))
119 dvdssub2 15070 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐴𝐶)) → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐴 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐶))
120105, 11, 14, 118, 119syl31anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐴 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐶))
121108, 120mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐴)
122 dvdstr 15065 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐶 gcd 𝐷) ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐷))
123105, 51, 20, 122syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐶 gcd 𝐷) ∧ (𝐶 gcd 𝐷) ∥ 𝐷) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐷))
124103, 68, 123mp2and 715 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐷)
12519simprd 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵𝐷) / 𝑀) ∈ ℤ)
12617, 20zsubcld 11525 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵𝐷) ∈ ℤ)
127 dvdsval2 15030 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (𝐵𝐷) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐵𝐷) ↔ ((𝐵𝐷) / 𝑀) ∈ ℤ))
1288, 111, 126, 127syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 ∥ (𝐵𝐷) ↔ ((𝐵𝐷) / 𝑀) ∈ ℤ))
129125, 128mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∥ (𝐵𝐷))
130 dvdstr 15065 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐵𝐷) ∈ ℤ) → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝑀𝑀 ∥ (𝐵𝐷)) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐵𝐷)))
131105, 8, 126, 130syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝑀𝑀 ∥ (𝐵𝐷)) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐵𝐷)))
132109, 129, 131mp2and 715 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐵𝐷))
133 dvdssub2 15070 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ (𝐵𝐷)) → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐵 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐷))
134105, 17, 20, 132, 133syl31anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐵 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐷))
135124, 134mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐵)
136 ax-1ne0 10043 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 0
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≠ 0)
13849, 137eqnetrd 2890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
139138neneqd 2828 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ (𝐴 gcd 𝐵) = 0)
140 gcdeq0 15285 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
14111, 17, 140syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)))
142139, 141mtbid 313 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
143 dvdslegcd 15273 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐴 ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐵) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
144105, 11, 17, 142, 143syl31anc 1369 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐴 ∧ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∥ 𝐵) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
145121, 135, 144mp2and 715 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ (𝐴 gcd 𝐵))
146145, 49breqtrd 4711 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ 1)
147 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 gcd 𝐷) = 0 ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
148147necon3ai 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ≠ 0 → ¬ ((𝐶 gcd 𝐷) = 0 ∧ 𝑀 = 0))
149111, 148syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ ((𝐶 gcd 𝐷) = 0 ∧ 𝑀 = 0))
150 gcdn0cl 15271 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ ((𝐶 gcd 𝐷) = 0 ∧ 𝑀 = 0)) → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℕ)
15151, 8, 149, 150syl21anc 1365 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℕ)
152 nnle1eq1 11086 . . . . . . . . 9 (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ∈ ℕ → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ 1 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) = 1))
153151, 152syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) ≤ 1 ↔ ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) = 1))
154146, 153mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) = 1)
155 2nn 11223 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
156155a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
157 rplpwr 15323 . . . . . . . 8 (((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) = 1 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) gcd 𝑀) = 1))
15850, 5, 156, 157syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) gcd 𝑀) = 1 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) gcd 𝑀) = 1))
159154, 158mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) gcd 𝑀) = 1)
160100, 159eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 gcd ((𝐶 gcd 𝐷)↑2)) = 1)
16165, 74nn0addcld 11393 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ0)
162161nn0zd 11518 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
163 coprmdvds 15413 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ (𝑀 gcd ((𝐶 gcd 𝐷)↑2)) = 1) → 𝑀 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
1648, 98, 162, 163syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 ∥ (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ (𝑀 gcd ((𝐶 gcd 𝐷)↑2)) = 1) → 𝑀 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
16596, 160, 164mp2and 715 . . . 4 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
166 dvdsval2 15030 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ))
1678, 111, 162, 166syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ))
168165, 167mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ)
16965nn0red 11390 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
17074nn0red 11390 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℝ)
171169, 170readdcld 10107 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
1725nnred 11073 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1731, 472sqlem7 25194 . . . . . . 7 𝑌 ⊆ (𝑆 ∩ ℕ)
174 inss2 3867 . . . . . . 7 (𝑆 ∩ ℕ) ⊆ ℕ
175173, 174sstri 3645 . . . . . 6 𝑌 ⊆ ℕ
17663, 72gcdcld 15277 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐹) ∈ ℕ0)
177176nn0cnd 11391 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐹) ∈ ℂ)
178 1cnd 10094 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17977mulid1d 10095 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · 1) = (𝐶 gcd 𝐷))
18083, 91oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸) gcd ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹)) = (𝐶 gcd 𝐷))
18114, 20gcdcld 15277 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ0)
182 mulgcd 15312 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 gcd 𝐷) ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸) gcd ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹)) = ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐸 gcd 𝐹)))
183181, 63, 72, 182syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐸) gcd ((𝐶 gcd 𝐷) · 𝐹)) = ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐸 gcd 𝐹)))
184179, 180, 1833eqtr2rd 2692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷) · (𝐸 gcd 𝐹)) = ((𝐶 gcd 𝐷) · 1))
185177, 178, 77, 59, 184mulcanad 10700 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐹) = 1)
186 eqidd 2652 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
187 oveq1 6697 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐸 → (𝑥 gcd 𝑦) = (𝐸 gcd 𝑦))
188187eqeq1d 2653 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐸 → ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ↔ (𝐸 gcd 𝑦) = 1))
189 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐸 → (𝑥↑2) = (𝐸↑2))
190189oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐸 → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝑦↑2)))
191190eqeq2d 2661 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐸 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝑦↑2))))
192188, 191anbi12d 747 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐸 → (((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝐸 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝑦↑2)))))
193 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐹 → (𝐸 gcd 𝑦) = (𝐸 gcd 𝐹))
194193eqeq1d 2653 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐹 → ((𝐸 gcd 𝑦) = 1 ↔ (𝐸 gcd 𝐹) = 1))
195 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐹 → (𝑦↑2) = (𝐹↑2))
196195oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐹 → ((𝐸↑2) + (𝑦↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
197196eqeq2d 2661 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐹 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
198194, 197anbi12d 747 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐹 → (((𝐸 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝐸 gcd 𝐹) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))))
199192, 198rspc2ev 3355 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐸 gcd 𝐹) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
20063, 72, 185, 186, 199syl112anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
201 ovex 6718 . . . . . . . 8 ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ V
202 eqeq1 2655 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → (𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
203202anbi2d 740 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → (((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
2042032rexbidv 3086 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
205201, 204, 47elab2 3386 . . . . . . 7 (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑌 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
206200, 205sylibr 224 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑌)
207175, 206sseldi 3634 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ)
208207nngt0d 11102 . . . 4 (𝜑 → 0 < ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
2095nngt0d 11102 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝑀)
210171, 172, 208, 209divgt0d 10997 . . 3 (𝜑 → 0 < (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))
211 elnnz 11425 . . 3 ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℕ ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 < (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)))
212168, 210, 211sylanbrc 699 . 2 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℕ)
213 prmnn 15435 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
214213ad2antrl 764 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∈ ℕ)
215214nnred 11073 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∈ ℝ)
216168adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ)
217216zred 11520 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℝ)
218 peano2zm 11458 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
2198, 218syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
220219zred 11520 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
221220adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
222 simprr 811 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))
223 prmz 15436 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
224223ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∈ ℤ)
225212adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℕ)
226 dvdsle 15079 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) → 𝑝 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)))
227224, 225, 226syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) → 𝑝 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)))
228222, 227mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))
229 zsqcl 12974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
2308, 229syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
231230zred 11520 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℝ)
232231rehalfcld 11317 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℝ)
23316zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
23422zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ)
235233, 234readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℝ)
236 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
23750nnsqcld 13069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℕ)
238237nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝐷)↑2) ∈ ℝ)
239161nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
240237nnge1d 11101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ≤ ((𝐶 gcd 𝐷)↑2))
241236, 238, 171, 239, 240lemul1ad 11001 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ≤ (((𝐶 gcd 𝐷)↑2) · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
242161nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
243242mulid2d 10096 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 · ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
244241, 243, 953brtr3d 4716 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
245232rehalfcld 11317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℝ)
24611, 5, 124sqlem7 15695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
24717, 5, 184sqlem7 15695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐷↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
248233, 234, 245, 245, 246, 247le2addd 10684 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
249232recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℂ)
2502492halvesd 11316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) = ((𝑀↑2) / 2))
251248, 250breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
252171, 235, 232, 244, 251letrd 10232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
2535nnsqcld 13069 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℕ)
254253nnrpd 11908 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℝ+)
255 rphalflt 11898 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀↑2) ∈ ℝ+ → ((𝑀↑2) / 2) < (𝑀↑2))
256254, 255syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) < (𝑀↑2))
257171, 232, 231, 252, 256lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) < (𝑀↑2))
2588zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
259258sqvald 13045 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
260257, 259breqtrd 4711 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) < (𝑀 · 𝑀))
261 ltdivmul 10936 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) < 𝑀 ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) < (𝑀 · 𝑀)))
262171, 172, 172, 209, 261syl112anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) < 𝑀 ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) < (𝑀 · 𝑀)))
263260, 262mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) < 𝑀)
264 zltlem1 11468 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) < 𝑀 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ≤ (𝑀 − 1)))
265168, 8, 264syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) < 𝑀 ↔ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ≤ (𝑀 − 1)))
266263, 265mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ≤ (𝑀 − 1))
267266adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ≤ (𝑀 − 1))
268215, 217, 221, 228, 267letrd 10232 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ≤ (𝑀 − 1))
269219adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
270 fznn 12446 . . . . . . . 8 ((𝑀 − 1) ∈ ℤ → (𝑝 ∈ (1...(𝑀 − 1)) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ (𝑀 − 1))))
271269, 270syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (𝑝 ∈ (1...(𝑀 − 1)) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ≤ (𝑀 − 1))))
272214, 268, 271mpbir2and 977 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∈ (1...(𝑀 − 1)))
273206adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑌)
274272, 273jca 553 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (𝑝 ∈ (1...(𝑀 − 1)) ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑌))
27548adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → ∀𝑏 ∈ (1...(𝑀 − 1))∀𝑎𝑌 (𝑏𝑎𝑏𝑆))
276 dvdsmul2 15051 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∥ (𝑀 · (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)))
2778, 168, 276syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∥ (𝑀 · (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)))
278242, 258, 111divcan2d 10841 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)) = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
279277, 278breqtrd 4711 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
280279adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
281162adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
282 dvdstr 15065 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) → 𝑝 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
283224, 216, 281, 282syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → ((𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) → 𝑝 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
284222, 280, 283mp2and 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))
285 breq1 4688 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑝 → (𝑏𝑎𝑝𝑎))
286 eleq1 2718 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑝 → (𝑏𝑆𝑝𝑆))
287285, 286imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑝 → ((𝑏𝑎𝑏𝑆) ↔ (𝑝𝑎𝑝𝑆)))
288 breq2 4689 . . . . . . 7 (𝑎 = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → (𝑝𝑎𝑝 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
289288imbi1d 330 . . . . . 6 (𝑎 = ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → ((𝑝𝑎𝑝𝑆) ↔ (𝑝 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → 𝑝𝑆)))
290287, 289rspc2v 3353 . . . . 5 ((𝑝 ∈ (1...(𝑀 − 1)) ∧ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑌) → (∀𝑏 ∈ (1...(𝑀 − 1))∀𝑎𝑌 (𝑏𝑎𝑏𝑆) → (𝑝 ∥ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) → 𝑝𝑆)))
291274, 275, 284, 290syl3c 66 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀))) → 𝑝𝑆)
292291expr 642 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) → 𝑝𝑆))
293292ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀) → 𝑝𝑆))
294 inss1 3866 . . . . 5 (𝑆 ∩ ℕ) ⊆ 𝑆
295173, 294sstri 3645 . . . 4 𝑌𝑆
296295, 206sseldi 3634 . . 3 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ 𝑆)
297278, 296eqeltrd 2730 . 2 (𝜑 → (𝑀 · (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) / 𝑀)) ∈ 𝑆)
2981, 5, 212, 293, 2972sqlem6 25193 1 (𝜑𝑀𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  {cab 2637  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cin 3606   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ran crn 5144  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  ...cfz 12364   mod cmo 12708  cexp 12900  abscabs 14018  cdvds 15027   gcd cgcd 15263  cprime 15432  ℤ[i]cgz 15680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-gz 15681
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