Theorem 2times 11767

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2times	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 11694	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 7160	. 2 ⊢ (2 · 𝐴) = ((1 + 1) · 𝐴)
3		1p1times 10805	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4	2, 3	syl5eq 2868	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  2c2 11686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-mulcl 10593  ax-mulcom 10595  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-1rid 10601  ax-cnre 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-iota 6309  df-fv 6358  df-ov 7153  df-2 11694

This theorem is referenced by:  times2  11768  2timesi  11769  2txmxeqx  11771  2halves  11859  halfaddsub  11864  avglt2  11870  2timesd  11874  expubnd  13535  absmax  14683  sinmul  15519  sin2t  15524  cos2t  15525  sadadd2lem2  15793  pythagtriplem4  16150  pythagtriplem14  16159  pythagtriplem16  16161  2sqreultlem  26017  2sqreunnltlem  26020  cncph  28590  pellexlem2  39420  acongrep  39570  sub2times  41532  2timesgt  41546