Theorem 2tnp1ge0ge0 13193

Description: Two times an integer plus one is not negative iff the integer is not negative. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2tnp1ge0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem 2tnp1ge0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12008	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zmulcld 12087	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
5	4	peano2zd 12084	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
6	5	zred 12081	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
7		2rp 12388	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+)
9	6, 8	ge0divd 12463	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2)))
10	4	zcnd 12082	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
11		1cnd 10630	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
12		2cnne0 11841	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
14		divdir 11317	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
15	10, 11, 13, 14	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
16		zcn 11980	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
17		2cnd 11709	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
18		2ne0 11735	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
20	16, 17, 19	divcan3d 11415	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
21	20	oveq1d 7165	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
22	15, 21	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (𝑁 + (1 / 2)))
23	22	breq2d 5070	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (1 / 2))))
24		zre 11979	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
25		halfre 11845	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ)
27	24, 26	readdcld 10664	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
28		halfge0 11848	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
29	24, 26	addge01d 11222	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2))))
30	28, 29	mpbii 235	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2)))
31		1red 10636	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
32		halflt1 11849	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) < 1
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 / 2) < 1)
34	26, 31, 24, 33	ltadd2dd 10793	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + (1 / 2)) < (𝑁 + 1))
35		btwnzge0 13192	. . 3 ⊢ ((((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ∧ (𝑁 + (1 / 2)) < (𝑁 + 1))) → (0 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ↔ 0 ≤ 𝑁))
36	27, 3, 30, 34, 35	syl22anc 836	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ↔ 0 ≤ 𝑁))
37	9, 23, 36	3bitrd 307	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   < clt 10669   ≤ cle 10670   / cdiv 11291  2c2 11686  ℤcz 11975  ℝ⁺crp 12383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fl 13156

This theorem is referenced by:  oddnn02np1  15691