MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2tp1odd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2tp1odd 15689
Description: A number which is twice an integer increased by 1 is odd. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2tp1odd ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1)) → ¬ 2 ∥ 𝐵)

Proof of Theorem 2tp1odd
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
2 oveq2 7153 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐴 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝐴))
32oveq1d 7160 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1))
43eqeq1d 2820 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐴 → (((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1) ↔ ((2 · 𝐴) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1)))
54adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = 𝐴) → (((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1) ↔ ((2 · 𝐴) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1)))
6 eqidd 2819 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → ((2 · 𝐴) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1))
71, 5, 6rspcedvd 3623 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1))
8 2z 12002 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
109, 1zmulcld 12081 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
1110peano2zd 12078 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → ((2 · 𝐴) + 1) ∈ ℤ)
12 odd2np1 15678 . . . . 5 (((2 · 𝐴) + 1) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1)))
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝐴) + 1)))
147, 13mpbird 258 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1))
1514adantr 481 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1)) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1))
16 breq2 5061 . . 3 (𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1) → (2 ∥ 𝐵 ↔ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1)))
1716adantl 482 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1)) → (2 ∥ 𝐵 ↔ 2 ∥ ((2 · 𝐴) + 1)))
1815, 17mtbird 326 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((2 · 𝐴) + 1)) → ¬ 2 ∥ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  2c2 11680  cz 11969  cdvds 15595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-dvds 15596
This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  25904  2lgslem3c1  25905  limsup10exlem  41929
  Copyright terms: Public domain W3C validator