Theorem 2wlkdlem5 27049

Description: Lemma 5 for 2wlkd 27056. (Contributed by AV, 14-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2wlkd.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
2wlkdlem5	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem 2wlkdlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2		2wlkd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
3		2wlkd.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
4		2wlkd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
5	2, 3, 4	2wlkdlem3 27047	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶))
6		simp1 1131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘0) = 𝐴)
7		simp2 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘1) = 𝐵)
8	6, 7	neeq12d 2993	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
9		simp3 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) = 𝐶)
10	7, 9	neeq12d 2993	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
11	8, 10	anbi12d 749	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)))
12	11	bicomd 213	. . . 4 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
13	5, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
14	1, 13	mpbid 222	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
15	2, 3	2wlkdlem2 27046	. . . 4 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = {0, 1}
16	15	raleqi 3281	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
17		c0ex 10226	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
18		1ex 10227	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
19		fveq2 6352	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
20		oveq1 6820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
21		0p1e1 11324	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
22	20, 21	syl6eq 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
23	22	fveq2d 6356	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
24	19, 23	neeq12d 2993	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
25		fveq2 6352	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘1))
26		oveq1 6820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
27		1p1e2 11326	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
28	26, 27	syl6eq 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
29	28	fveq2d 6356	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
30	25, 29	neeq12d 2993	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
31	17, 18, 24, 30	ralpr 4382	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
32	16, 31	bitri 264	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
33	14, 32	sylibr 224	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  {cpr 4323  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  2c2 11262  ..^cfzo 12659  ♯chash 13311  ⟨“cs2 13786  ⟨“cs3 13787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-s1 13488  df-s2 13793  df-s3 13794

This theorem is referenced by:  2wlkd  27056