Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2wlkond Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2wlkond 26902
 Description: A walk of length 2 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 30-Jan-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
2wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
2wlkd.n (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
2wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
2wlkd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2wlkd.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
2wlkond (𝜑𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃)

Proof of Theorem 2wlkond
StepHypRef Expression
1 2wlkd.p . . 3 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2 2wlkd.f . . 3 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3 2wlkd.s . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
4 2wlkd.n . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
5 2wlkd.e . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
6 2wlkd.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7 2wlkd.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 72wlkd 26901 . 2 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
93simp1d 1093 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
101fveq1i 6230 . . . 4 (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)
11 s3fv0 13682 . . . 4 (𝐴𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
1210, 11syl5eq 2697 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
139, 12syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝐴)
142fveq2i 6232 . . . . 5 (#‘𝐹) = (#‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
15 s2len 13680 . . . . 5 (#‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
1614, 15eqtri 2673 . . . 4 (#‘𝐹) = 2
171, 16fveq12i 6234 . . 3 (𝑃‘(#‘𝐹)) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)
183simp3d 1095 . . . 4 (𝜑𝐶𝑉)
19 s3fv2 13684 . . . 4 (𝐶𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
2018, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
2117, 20syl5eq 2697 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐶)
22 3simpb 1079 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐴𝑉𝐶𝑉))
233, 22syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐶𝑉))
24 s2cli 13671 . . . . 5 ⟨“𝐽𝐾”⟩ ∈ Word V
252, 24eqeltri 2726 . . . 4 𝐹 ∈ Word V
26 s3cli 13672 . . . . 5 ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V
271, 26eqeltri 2726 . . . 4 𝑃 ∈ Word V
2825, 27pm3.2i 470 . . 3 (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)
296iswlkon 26609 . . 3 (((𝐴𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V)) → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐶)))
3023, 28, 29sylancl 695 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐶)))
318, 13, 21, 30mpbir3and 1264 1 (𝜑𝐹(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  {cpr 4212   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  2c2 11108  #chash 13157  Word cword 13323  ⟨“cs2 13632  ⟨“cs3 13633  Vtxcvtx 25919  iEdgciedg 25920  Walkscwlks 26548  WalksOncwlkson 26549 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1033  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-wlks 26551  df-wlkson 26552 This theorem is referenced by:  2trlond  26904  umgr2adedgwlkon  26911
 Copyright terms: Public domain W3C validator