Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zrngagrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2zrngagrp 41204
Description: R is an (additive) group. (Contributed by AV, 6-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
Assertion
Ref Expression
2zrngagrp 𝑅 ∈ Grp
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Proof of Theorem 2zrngagrp
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2zrng.e . . 3 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2 2zrngbas.r . . 3 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
31, 22zrngamnd 41202 . 2 𝑅 ∈ Mnd
4 eqeq1 2630 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑦 = (2 · 𝑥)))
54rexbidv 3050 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)))
65, 1elrab2 3353 . . . . 5 (𝑦𝐸 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)))
7 znegcl 11357 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
87adantr 481 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑦 ∈ ℤ)
9 nfv 1845 . . . . . . . 8 𝑥 𝑦 ∈ ℤ
10 nfre1 3004 . . . . . . . 8 𝑥𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)
11 znegcl 11357 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
1211adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -𝑥 ∈ ℤ)
1312adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑥 ∈ ℤ)
14 oveq2 6613 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = -𝑥 → (2 · 𝑧) = (2 · -𝑥))
1514eqeq2d 2636 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = -𝑥 → (-𝑦 = (2 · 𝑧) ↔ -𝑦 = (2 · -𝑥)))
1615adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) ∧ 𝑧 = -𝑥) → (-𝑦 = (2 · 𝑧) ↔ -𝑦 = (2 · -𝑥)))
17 negeq 10218 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (2 · 𝑥) → -𝑦 = -(2 · 𝑥))
18 2cnd 11038 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
19 zcn 11327 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
2018, 19mulneg2d 10429 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · -𝑥) = -(2 · 𝑥))
2120eqcomd 2632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℤ → -(2 · 𝑥) = (2 · -𝑥))
2221adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -(2 · 𝑥) = (2 · -𝑥))
2317, 22sylan9eqr 2682 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑦 = (2 · -𝑥))
2413, 16, 23rspcedvd 3307 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑧))
25 oveq2 6613 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑧))
2625eqeq2d 2636 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (-𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ -𝑦 = (2 · 𝑧)))
2726cbvrexv 3165 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑧))
2824, 27sylibr 224 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥))
2928exp31 629 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑦 = (2 · 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥))))
309, 10, 29rexlimd 3024 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
3130imp 445 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥))
32 eqeq1 2630 . . . . . . . 8 (𝑧 = -𝑦 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
3332rexbidv 3050 . . . . . . 7 (𝑧 = -𝑦 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
3433, 1elrab2 3353 . . . . . 6 (-𝑦𝐸 ↔ (-𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ -𝑦 = (2 · 𝑥)))
358, 31, 34sylanbrc 697 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = (2 · 𝑥)) → -𝑦𝐸)
366, 35sylbi 207 . . . 4 (𝑦𝐸 → -𝑦𝐸)
37 oveq1 6612 . . . . . 6 (𝑧 = -𝑦 → (𝑧 + 𝑦) = (-𝑦 + 𝑦))
3837eqeq1d 2628 . . . . 5 (𝑧 = -𝑦 → ((𝑧 + 𝑦) = 0 ↔ (-𝑦 + 𝑦) = 0))
3938adantl 482 . . . 4 ((𝑦𝐸𝑧 = -𝑦) → ((𝑧 + 𝑦) = 0 ↔ (-𝑦 + 𝑦) = 0))
40 elrabi 3347 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
4140, 1eleq2s 2722 . . . . . . . 8 (𝑦𝐸𝑦 ∈ ℤ)
4241zcnd 11427 . . . . . . 7 (𝑦𝐸𝑦 ∈ ℂ)
4342negcld 10324 . . . . . 6 (𝑦𝐸 → -𝑦 ∈ ℂ)
4443, 42addcomd 10183 . . . . 5 (𝑦𝐸 → (-𝑦 + 𝑦) = (𝑦 + -𝑦))
4542negidd 10327 . . . . 5 (𝑦𝐸 → (𝑦 + -𝑦) = 0)
4644, 45eqtrd 2660 . . . 4 (𝑦𝐸 → (-𝑦 + 𝑦) = 0)
4736, 39, 46rspcedvd 3307 . . 3 (𝑦𝐸 → ∃𝑧𝐸 (𝑧 + 𝑦) = 0)
4847rgen 2922 . 2 𝑦𝐸𝑧𝐸 (𝑧 + 𝑦) = 0
491, 22zrngbas 41197 . . 3 𝐸 = (Base‘𝑅)
501, 22zrngadd 41198 . . 3 + = (+g𝑅)
511, 22zrng0 41199 . . 3 0 = (0g𝑅)
5249, 50, 51isgrp 17344 . 2 (𝑅 ∈ Grp ↔ (𝑅 ∈ Mnd ∧ ∀𝑦𝐸𝑧𝐸 (𝑧 + 𝑦) = 0))
533, 48, 52mpbir2an 954 1 𝑅 ∈ Grp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wrex 2913  {crab 2916  (class class class)co 6605  0cc0 9881   + caddc 9884   · cmul 9886  -cneg 10212  2c2 11015  cz 11322  s cress 15777  Mndcmnd 17210  Grpcgrp 17338  fldccnfld 19660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12266  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-cmn 18111  df-mgp 18406  df-ring 18465  df-cring 18466  df-cnfld 19661
This theorem is referenced by:  2zrngaabl  41205
  Copyright terms: Public domain W3C validator